Cho ${(\sqrt{x^{2} + 1} + x)}^{2025} = 2025$, giá trị của biểu thức $\log_{2025}(\sqrt{x^{2} + 1} - x)$

Câu hỏi số 974346:

Vận dụng

Cho ${(\sqrt{x^{2} + 1} + x)}^{2025} = 2025$, giá trị của biểu thức $\log_{2025}(\sqrt{x^{2} + 1} - x)$ là

A. $- 1$.

B. $- \dfrac{1}{2025}$.

C. $\dfrac{1}{2025}$.

D. $- 2025$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974346

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức $(\sqrt{x^{2} + 1} + x)(\sqrt{x^{2} + 1} - x) = x^{2} + 1 - x^{2} = 1$ để biểu diễn $\sqrt{x^{2} + 1} - x$ theo $\sqrt{x^{2} + 1} + x$. Từ đó thay thế vào biểu thức logarit cần tính.

Giải chi tiết

Ta có: $(\sqrt{x^{2} + 1} + x)(\sqrt{x^{2} + 1} - x) = {(\sqrt{x^{2} + 1})}^{2} - x^{2} = x^{2} + 1 - x^{2} = 1$.

Suy ra: $\sqrt{x^{2} + 1} - x = \dfrac{1}{\sqrt{x^{2} + 1} + x} = {(\sqrt{x^{2} + 1} + x)}^{- 1}$.

Theo giả thiết, ${(\sqrt{x^{2} + 1} + x)}^{2025} = 2025$, suy ra $\sqrt{x^{2} + 1} + x = 2025^{\dfrac{1}{2025}}$.

Thay vào biểu thức cần tính ta được:

$\log_{2025}(\sqrt{x^{2} + 1} - x) = \log_{2025}({(\sqrt{x^{2} + 1} + x)}^{- 1}) = - \log_{2025}(\sqrt{x^{2} + 1} + x)$

$= - \log_{2025}(2025^{\dfrac{1}{2025}}) = - \dfrac{1}{2025}\log_{2025}(2025) = - \dfrac{1}{2025}$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.