Cho hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$. Gọi M là điểm thuộc (C) sao cho tổng khoảng

Câu hỏi số 974352:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x + 2}$ có đồ thị $(C)$. Gọi M là điểm thuộc (C) sao cho tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C) đạt giá trị nhỏ nhất. Tích các giá trị hoành độ của điểm M thỏa yêu cầu bài toán là

A. 6.

B. 3.

C. 5.

D. 4.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974352

Phương pháp giải

Xác định phương trình đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Gọi tọa độ điểm $M(x_{0};y_{0})$ thuộc đồ thị. Tính khoảng cách từ $M$ đến hai tiệm cận.

Lập hàm tổng khoảng cách, áp dụng bất đẳng thức AM-GM để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng.

Từ dấu bằng của bất đẳng thức, giải ra các hoành độ $x_{0}$ thỏa mãn và tính tích của chúng.

Giải chi tiết

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x + 1}{x + 2} = 1 - \dfrac{1}{x + 2}$ có:

Đường tiệm cận đứng $\left. \Delta_{1}:x = - 2\Leftrightarrow x + 2 = 0 \right.$.

Đường tiệm cận ngang $\left. \Delta_{2}:y = 1\Leftrightarrow y - 1 = 0 \right.$.

Gọi điểm $M\left( {x_{0};1 - \dfrac{1}{x_{0} + 2}} \right)$ thuộc đồ thị $(C)$ với $x_{0} \neq - 2$.

Khoảng cách từ $M$ đến đường tiệm cận đứng $\Delta_{1}$ là: $\left. d_{1} = \middle| x_{0} + 2 \right|$.

Khoảng cách từ $M$ đến đường tiệm cận ngang $\Delta_{2}$ là: $d_{2} = \left| {1 - \dfrac{1}{x_{0} + 2} - 1} \right| = \dfrac{1}{\left| x_{0} + 2 \right|}$.

Tổng khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là:$\left. S = d_{1} + d_{2} = \middle| x_{0} + 2 \middle| + \dfrac{1}{\left| x_{0} + 2 \right|} \right.$.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương, ta có:$\left. S = \middle| x_{0} + 2 \middle| + \dfrac{1}{\left| x_{0} + 2 \right|} \geq 2\sqrt{\left| x_{0} + 2 \middle| \cdot \dfrac{1}{\left| x_{0} + 2 \right|} \right.} = 2 \right.$.

Tổng khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi:$\left| x_{0} + 2 \middle| = \dfrac{1}{\left| x_{0} + 2 \right|}\Leftrightarrow{(x_{0} + 2)}^{2} = 1\Leftrightarrow\begin{bmatrix} {x_{0} + 2 = 1} \\ {x_{0} + 2 = - 1} \end{bmatrix}\Leftrightarrow\begin{bmatrix} {x_{0} = - 1} \\ {x_{0} = - 3} \end{bmatrix} \right.$ (thỏa mãn $x_{0} \neq - 2$).

Vậy có 2 điểm M thỏa mãn bài toán với hoành độ lần lượt là $x = - 1$ và $x = - 3$.

Tích các giá trị hoành độ của điểm $M$ là: $( - 1) \cdot ( - 3) = 3$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.