Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x + 2y - z - 3 = 0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm thuộc $(P)$

Câu hỏi số 974351:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P):x + 2y - z - 3 = 0$. Gọi $(S)$ là mặt cầu có tâm thuộc $(P)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $(Q):x + y - z - 1 = 0$ tại điểm $A(1;0;z_{A})$. Biết $(P)$ và $(S)$ cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn $(C)$. Tính bán kính của $(C)$.

A. $\sqrt{3}$.

B. $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

C. 1.

D. 2.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:974351

Phương pháp giải

Tìm tọa độ điểm $A$ do $A \in (Q)$.

Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(Q)$.

Vì $(S)$ tiếp xúc với $(Q)$ tại A nên tâm I của mặt cầu nằm trên đường thẳng $\Delta$.

Sử dụng dữ kiện tâm $I \in (P)$ để tìm tọa độ $I$.

Bán kính mặt cầu là $R = IA$.

Vì tâm $I \in (P)$ nên giao tuyến của $(P)$ và mặt cầu $(S)$ là đường tròn lớn, có bán kính bằng bán kính mặt cầu $(S)$.

Giải chi tiết

Vì điểm $A(1;0;z_{A})$ thuộc mặt phẳng $(Q):x + y - z - 1 = 0$ nên:$\left. 1 + 0 - z_{A} - 1 = 0\Leftrightarrow z_{A} = 0 \right.$.

Suy ra $A(1;0;0)$.

Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $(S)$.

Mặt phẳng $(Q)$ có véctơ pháp tuyến là $\overset{\rightarrow}{n} = (1;1; - 1)$.

Đường thẳng đi qua I, A vuông góc với $(Q)$ nên nhận $\overset{\rightarrow}{n} = (1;1; - 1)$ làm véctơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng IA là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = t} \\ {z = - t} \end{array} \right.$.

Tâm $\left. I \in IA\Rightarrow I(1 + t;t; - t) \right.$.

Mặt khác, tâm $I \in (P):x + 2y - z - 3 = 0$ nên ta có:$\left. (1 + t) + 2(t) - ( - t) - 3 = 0\Leftrightarrow 4t - 2 = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2} \right.$.

Suy ra tâm $I\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$. Bán kính mặt cầu $(S)$ là:$R = IA = \sqrt{\left( {1 - \dfrac{3}{2}} \right)^{2} + \left( {0 - \dfrac{1}{2}} \right)^{2} + \left( {0 - \left( {- \dfrac{1}{2}} \right)} \right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Đường tròn $(C)$ là giao tuyến của mặt phẳng $(P)$ và mặt cầu $(S)$.

Do mặt phẳng $(P)$ chứa tâm $I$ của mặt cầu $(S)$ nên khoảng cách từ tâm $I$ đến $(P)$ bằng 0.

Khi đó đường tròn giao tuyến $(C)$ là đường tròn lớn, có bán kính $r = R = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.