Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sauCho hàm số $f(x) = x^{3} + 3x^{2} + (m + 2)x +

Dựa vào thông tin dưới đây để trả lời các câu sau

Cho hàm số $f(x) = x^{3} + 3x^{2} + (m + 2)x + m$, với $m$ là tham số.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Thông hiểu

Khi $m = - 2$, điểm cực đại của đồ thị hàm số $f(x)$ là

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:974372
Phương pháp giải

Thay giá trị m vào hàm số, tìm đạo hàm $f'(x)$.

Giải phương trình $f'(x) = 0$ để tìm các điểm tới hạn.

Sử dụng đạo hàm bậc hai $f^{''}(x)$ (hoặc bảng biến thiên) để phân biệt điểm cực đại, cực tiểu.

Lưu ý: Điểm cực đại của đồ thị hàm số là tọa độ $(x_{C\text{Ð}};y_{C\text{Ð}})$.

Giải chi tiết

Với $m = - 2$, hàm số trở thành: $f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 2$.

Tập xác định: $D = {\mathbb{R}}$.

Đạo hàm: $f'(x) = 3x^{2} + 6x$.

Cho $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow 3x^{2} + 6x = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = - 2} \end{array} \right. \right.$.

Đạo hàm bậc hai: $f^{''}(x) = 6x + 6$.

Xét tại các điểm tới hạn:

$\left. f^{''}(0) = 6(0) + 6 = 6 > 0\Rightarrow x = 0 \right.$ là điểm cực tiểu.

$\left. f^{''}( - 2) = 6( - 2) + 6 = - 6 < 0\Rightarrow x = - 2 \right.$ là điểm cực đại.

Giá trị cực đại của hàm số là: $f( - 2) = {( - 2)}^{3} + 3{( - 2)}^{2} - 2 = 2$.

Vậy điểm cực đại của đồ thị hàm số có tọa độ là $( - 2;2)$.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

Hàm số đã cho nghịch biến trên $(0;2)$ khi và chỉ khi

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:974373
Phương pháp giải

Hàm đa thức $y = f(x)$ nghịch biến trên khoảng K khi và chỉ khi $f'(x) \leq 0,\forall x \in K$.

Sử dụng phương pháp cô lập tham số m, đưa bất phương trình về dạng $m \leq g(x),\forall x \in K$.

Điều kiện tương đương là $m \leq \min_{K}g(x)$ (hoặc $m \leq \inf\limits_{K}g(x)$). Khảo sát hàm số $g(x)$ để kết luận.

Giải chi tiết

Tập xác định: $D = {\mathbb{R}}$.

Đạo hàm: $f'(x) = 3x^{2} + 6x + m + 2$.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ thì $f'(x) \leq 0,\forall x \in (0;2)$.

$\left. \Leftrightarrow 3x^{2} + 6x + m + 2 \leq 0,\forall x \in (0;2) \right.$

$\left. \Leftrightarrow m \leq - 3x^{2} - 6x - 2,\forall x \in (0;2) \right.$.

Xét hàm số $g(x) = - 3x^{2} - 6x - 2$ trên khoảng $(0;2)$.

Ta có đạo hàm $g'(x) = - 6x - 6 = - 6(x + 1)$.

Với $x \in (0;2)$ thì $g'(x) < 0$, do đó hàm số $g(x)$ luôn nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Vì vậy, để $m \leq g(x),\forall x \in (0;2)$ thì $m \leq g(2)$.

Tính giá trị tại cận: $g(2) = - 3{(2)}^{2} - 6(2) - 2 = - 26$.

Vậy ta thu được điều kiện của $m$ là $m \leq - 26$.

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn $\lbrack - 2025;2025\rbrack$ để phương trình $f(x) = 0$ có 3 nghiệm phân biệt?

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:974374
Phương pháp giải

Nhẩm một nghiệm của phương trình bậc ba $f(x) = 0$ (nghiệm thường cố định, không phụ thuộc vào m).

Sử dụng sơ đồ Horner hoặc phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về dạng tích của một nhị thức bậc nhất và một tam thức bậc hai.

Lập luận: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm phân biệt khi phương trình bậc hai có 2 nghiệm phân biệt và 2 nghiệm đó phải khác nghiệm của nhị thức bậc nhất.

Giải các điều kiện và đếm số giá trị nguyên của m.

Giải chi tiết

Xét phương trình $\left. f(x) = 0\Leftrightarrow x^{3} + 3x^{2} + (m + 2)x + m = 0 \right.$.

Nhận thấy nếu thay $x = - 1$ thì ${( - 1)}^{3} + 3{( - 1)}^{2} - (m + 2) + m = - 1 + 3 - m - 2 + m = 0$. Suy ra phương trình luôn có một nghiệm $x = - 1$.

Ta phân tích thành nhân tử như sau:

$x^{3} + x^{2} + 2x^{2} + 2x + mx + m = 0$

$\left. \Leftrightarrow x^{2}(x + 1) + 2x(x + 1) + m(x + 1) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow(x + 1)(x^{2} + 2x + m) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = - 1} \\ {x^{2} + 2x + m = 0\quad(*)} \end{array} \right. \right.$

Để phương trình ban đầu có 3 nghiệm phân biệt thì phương trình $(*)$ phải có 2 nghiệm phân biệt và khác $- 1$.

Điều kiện tương đương là:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {\Delta' > 0} \\ {{( - 1)}^{2} + 2( - 1) + m \neq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {1^{2} - m > 0} \\ {- 1 + m \neq 0} \end{array} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m < 1} \\ {m \neq 1} \end{array} \right.\Leftrightarrow m < 1 \right.$.

Mặt khác, theo yêu cầu bài toán, $m$ là số nguyên và $m \in \lbrack - 2025;2025\rbrack$, nên ta có:

$\left. \left\{ \begin{array}{l} {- 2025 \leq m \leq 2025} \\ {m < 1} \\ {m \in {\mathbb{Z}}} \end{array} \right.\Rightarrow m \in \left\{ - 2025; - 2024;...;0 \right\} \right.$.

Số lượng các giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn là: $\dfrac{0 - ( - 2025)}{1} + 1 = 2026$ (giá trị).

Đáp án cần chọn là: B

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →