Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{mx + 10}{2x + m}$ nghịch biến trên

Câu hỏi số 975335:

Vận dụng

Số giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{mx + 10}{2x + m}$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ là

A. 6.

B. 5.

C. 4.

D. 9.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975335

Phương pháp giải

Hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất $y = \dfrac{ax + b}{cx + d}$ nghịch biến trên khoảng $(u;v)$ khi và chỉ khi:

Đạo hàm $y' < 0,\forall x \neq - \dfrac{d}{c}$.

Nghiệm của mẫu số không thuộc khoảng $(u;v)$, tức là $- \dfrac{d}{c} \notin (u;v)$.

Giải chi tiết

Tập xác định: $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ - \dfrac{m}{2} \right\}$.

Đạo hàm: $y' = \dfrac{m \cdot m - 2 \cdot 10}{{(2x + m)}^{2}} = \dfrac{m^{2} - 20}{{(2x + m)}^{2}}$.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;2)$ thì ta cần hệ điều kiện sau:

$\left\{ \begin{array}{l} {y' < 0,\forall x \in (0;2)} \\ {- \dfrac{m}{2} \notin (0;2)} \end{array} \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {m^{2} - 20 < 0} \\ \left\lbrack \begin{array}{l} {- \dfrac{m}{2} \leq 0} \\ {- \dfrac{m}{2} \geq 2} \end{array} \right. \end{array} \right. \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- \sqrt{20} < m < \sqrt{20}} \\ \left\lbrack \begin{array}{l} {m \geq 0} \\ {m \leq - 4} \end{array} \right. \end{array} \right. \right.$

Biểu diễn trên trục số, ta được: $m \in ( - \sqrt{20}; - 4\rbrack \cup \lbrack 0;\sqrt{20})$.

Vì $m \in {\mathbb{Z}}$ và $\sqrt{20} \approx 4,47$ nên các giá trị nguyên của $m$ là:

Trong khoảng $( - \sqrt{20}; - 4\rbrack$: $m = - 4$.

Trong khoảng $\lbrack 0;\sqrt{20})$: $m \in \left\{ 0;1;2;3;4 \right\}$.

Vậy tập các giá trị nguyên của $m$ là $\left\{ - 4;0;1;2;3;4 \right\}$, gồm 6 giá trị.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.