Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng

Câu hỏi số 975334:

Vận dụng

Có bao nhiêu cấp số cộng có các số hạng là số tự nhiên, số hạng đầu là số chẵn, tổng các số hạng có giá trị lẻ bằng 33 và tổng các số hạng có giá trị chẵn bằng 44?

A. 8.

B. 2.

C. 5.

D. 12.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975334

Phương pháp giải

Gọi số hạng đầu là $a_{1}$ (chẵn, $a_{1} \in {\mathbb{N}}$), công sai $d \in {\mathbb{Z}}$, số phần tử là $n$.

Biện luận tính chẵn lẻ của $d$ để suy ra quy luật chẵn lẻ của các số hạng trong cấp số cộng.

Dựa vào tổng số hạng chẵn và tổng số hạng lẻ để lập các hệ phương trình, giải tìm $a_{1}$ và $d$, sau đó kiểm tra điều kiện các số hạng đều là số tự nhiên.

Giải chi tiết

Gọi cấp số cộng có n số hạng là $a_{1},a_{2},...,a_{n}$. Tổng tất cả các số hạng là $S = 33 + 44 = 77$.

Ta có $\left. S = \dfrac{n(a_{1} + a_{n})}{2} = 77\Rightarrow n(a_{1} + a_{n}) = 154 \right.$.

Do các số hạng là số tự nhiên nên công sai d là số nguyên.

Nếu $d$ chẵn, vì $a_{1}$ chẵn nên tất cả các số hạng đều chẵn, khi đó tổng các số hạng lẻ bằng 0 (vô lý vì bằng 33).

Vậy $d$ phải là số lẻ. Khi đó các số hạng chẵn, lẻ nằm xen kẽ nhau: Chẵn, Lẻ, Chẵn, Lẻ...

Gọi $m$ là số các số hạng lẻ.

Trường hợp 1: $n = 2m$ (chẵn). Cấp số cộng có $m$ số chẵn và $m$ số lẻ.

Tổng các số chẵn là $m$ lần trung bình cộng của chúng, tổng các số lẻ cũng vậy.

Ta phải có $m$ là ước chung của 33 và 44, suy ra $m = 1$ hoặc $m = 11$.

Nếu $\left. m = 1\Rightarrow n = 2 \right.$. Cấp số cộng có 2 số hạng là $a_{1}$ (chẵn) và $a_{2}$ (lẻ).

Ta có $a_{1} = 44$, $a_{2} = 33$. Công sai $d = 33 - 44 = - 11$. Các số hạng 44, 33 đều là số tự nhiên.

Đây là 1 cấp số cộng thỏa mãn.

Nếu $\left. m = 11\Rightarrow n = 22 \right.$. Ta có 11 số hạng chẵn, 11 số lẻ.

Tổng số chẵn: $\left. 11(a_{1} + 10d) = 44\Rightarrow a_{1} + 10d = 4 \right.$.

Tổng số lẻ: $\left. 11(a_{1} + 11d) = 33\Rightarrow a_{1} + 11d = 3 \right.$.

Giải hệ thu được $d = - 1$, $a_{1} = 14$.

Tuy nhiên số hạng thứ 22 là $a_{22} = 14 + 21( - 1) = - 7 < 0$ (không phải số tự nhiên). Loại.

Trường hợp 2: $n = 2m + 1$ (lẻ). Do số hạng đầu là chẵn nên cấp số cộng có $m + 1$ số chẵn và $m$ số lẻ.

Tổng các số lẻ là $\left. m(a_{1} + md) = 33\Rightarrow m \right.$ là ước của 33.

Tổng các số chẵn là $\left. (m + 1)(a_{1} + md) = 44\Rightarrow m + 1 \right.$ là ước của 44.

Thử các ước $m \in \left\{ 1,3,11,33 \right\}$, ta thấy chỉ có $m = 1$ (thì $m + 1 = 2$) và $m = 3$ (thì $m + 1 = 4$) thỏa mãn điều kiện chia hết.

Nếu $\left. m = 1\Rightarrow n = 3 \right.$. Ta có $a_{1} + d = 33$ và $a_{1} + d = 22$, vô lý. Loại.

Nếu $\left. m = 3\Rightarrow n = 7 \right.$. Ta có hệ:

$\left. 4(a_{1} + 3d) = 44\Rightarrow a_{1} + 3d = 11 \right.$.

$\left. 3(a_{1} + 3d) = 33\Rightarrow a_{1} + 3d = 11 \right.$ (thỏa mãn).

Vậy $a_{1} = 11 - 3d$.

Vì $a_{1}$ là số chẵn không âm và $d$ lẻ nên để các số hạng là số tự nhiên thì số hạng nhỏ nhất phải $\geq 0$.

Nếu $d > 0$, số nhỏ nhất là $\left. a_{1} \geq 0\Rightarrow 11 - 3d \geq 0\Rightarrow d \leq 3 \right.$. Chọn $d \in \left\{ 1;3 \right\}$.

Với $\left. d = 1\Rightarrow a_{1} = 8 \right.$. Cấp số cộng: 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 (thỏa mãn, 1 cấp số cộng).

Với $\left. d = 3\Rightarrow a_{1} = 2 \right.$. Cấp số cộng: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20 (thỏa mãn, 1 cấp số cộng).

Nếu $d < 0$, số nhỏ nhất là $\left. a_{7} = a_{1} + 6d \geq 0\Rightarrow 11 + 3d \geq 0\Rightarrow d \geq - 3 \right.$. Chọn $d \in \left\{ - 1; - 3 \right\}$.

Với $\left. d = - 1\Rightarrow a_{1} = 14 \right.$. Cấp số cộng: 14, 13, 12, 11, 10, 9, 8 (thỏa mãn, 1 cấp số cộng).

Với $\left. d = - 3\Rightarrow a_{1} = 20 \right.$. Cấp số cộng: 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2 (thỏa mãn, 1 cấp số cộng).

Tổng cộng có $1 + 4 = 5$ cấp số cộng thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.