Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác $\alpha$ làm cho biểu thức xác định thì:a)

Câu hỏi số 975400:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi góc lượng giác $\alpha$ làm cho biểu thức xác định thì:

a) $\sin^{4}\alpha + \cos^{4}\alpha = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\cos 4\alpha}{4}$

b) $\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha = \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4\alpha$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975400

Phương pháp giải

Sử dụng các hằng đẳng thức $a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2ab$ và $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$

Công thức nhân đôi $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ và công thức hạ bậc $\sin^{2}2\alpha = \dfrac{1 - \cos 4\alpha}{2}$.

Giải chi tiết

a) Ta có $\sin^{4}\alpha + \cos^{4}\alpha = {(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha)}^{2} - 2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha$

$= 1 - 2\left( {\dfrac{1}{2}\sin 2\alpha} \right)^{2} = 1 - \dfrac{1}{2}\sin^{2}2\alpha$

$= 1 - \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1 - \cos 4\alpha}{2} = 1 - \dfrac{1 - \cos 4\alpha}{4}$

$= \dfrac{4 - 1 + \cos 4\alpha}{4} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{\cos 4\alpha}{4}$ (ĐPCM).

b) Ta có $\sin^{6}\alpha + \cos^{6}\alpha = {(\sin^{2}\alpha)}^{3} + {(\cos^{2}\alpha)}^{3}$

$= (\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha)(\sin^{4}\alpha - \sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha + \cos^{4}\alpha)$

$= \sin^{4}\alpha + \cos^{4}\alpha - \sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha$

$= \dfrac{3}{4} + \dfrac{\cos 4\alpha}{4} - \dfrac{1}{4}\sin^{2}2\alpha$$= \dfrac{3}{4} + \dfrac{\cos 4\alpha}{4} - \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1 - \cos 4\alpha}{2}$

$= \dfrac{3}{4} + \dfrac{\cos 4\alpha}{4} - \dfrac{1}{8} + \dfrac{\cos 4\alpha}{8}$$= \dfrac{6 - 1}{8} + \dfrac{2\cos 4\alpha + \cos 4\alpha}{8} = \dfrac{5}{8} + \dfrac{3}{8}\cos 4\alpha$ (ĐPCM).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.