Cho $\dfrac{1}{\tan^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\cot^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\cos^{2}\alpha} =

Câu hỏi số 975399:

Vận dụng

Cho $\dfrac{1}{\tan^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\cot^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\cos^{2}\alpha} = 7$. Tính $\cos 4\alpha$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:975399

Phương pháp giải

Biến đổi các biểu thức về $\sin\alpha$ và $\cos\alpha$, sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản và công thức nhân đôi, công thức hạ bậc để tìm $\cos 4\alpha$.

Giải chi tiết

Ta có $\dfrac{1}{\tan^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\cot^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\cos^{2}\alpha} = 7$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{\cos^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha} + \dfrac{\sin^{2}\alpha}{\cos^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\sin^{2}\alpha} + \dfrac{1}{\cos^{2}\alpha} = 7 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{\cos^{2}\alpha + 1}{\sin^{2}\alpha} + \dfrac{\sin^{2}\alpha + 1}{\cos^{2}\alpha} = 7 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{\cos^{2}\alpha(\cos^{2}\alpha + 1) + \sin^{2}\alpha(\sin^{2}\alpha + 1)}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha} = 7 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{\cos^{4}\alpha + \cos^{2}\alpha + \sin^{4}\alpha + \sin^{2}\alpha}{\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha} = 7 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\sin^{4}\alpha + \cos^{4}\alpha + 1 = 7\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha \right.$

$\left. \Leftrightarrow{(\sin^{2}\alpha + \cos^{2}\alpha)}^{2} - 2\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha + 1 = 7\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2 = 9\sin^{2}\alpha\cos^{2}\alpha \right.$$\left. \Leftrightarrow 8 = 9{(2\sin\alpha\cos\alpha)}^{2} \right.$$\left. \Leftrightarrow 8 = 9\sin^{2}2\alpha \right.$

$\left. \Leftrightarrow 16 = 9(1 - \cos 4\alpha) \right.$$\left. \Leftrightarrow 9\cos 4\alpha = 9 - 16 \right.$$\left. \Leftrightarrow\cos 4\alpha = - \dfrac{7}{9} \right.$.

Vậy $\cos 4\alpha = - \dfrac{7}{9}$.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.