Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Trong một đợt thử nghiệm dây chuyền tự động hóa, một rô-bốt cấp phôi (rô-bốt A) và một

Trong một đợt thử nghiệm dây chuyền tự động hóa, một rô-bốt cấp phôi (rô-bốt A) và một băng chuyền nhận phôi (băng chuyền B) cùng chuyển động lên xuống đồng thời theo phương thẳng đứng. Tại thời điểm $t$ (giây) với $t \geq 0$, chiều cao (m) của đầu gắp rô-bốt A và bề mặt băng chuyền B so với mặt sàn được mô hình hóa lần lượt bởi các hàm số: $h(t) = 12 + t^{2}e^{- t}$ và $p(t) = 7 + (4t - 4)e^{- t}$

Gọi $d(t)$ là khoảng cách theo phương thẳng đứng từ đầu gắp rô-bốt A đến bề mặt băng chuyền B. Giả định các thiết bị chỉ dao động theo phương thẳng đứng.

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

Biết rằng nếu khoảng cách $d(t)$ nhỏ hơn 5,2 m, hệ thống cảm biến sẽ tự động phát cảnh báo để điều chỉnh tốc độ, tránh va chạm làm hỏng phôi. Căn cứ vào mô hình trên, hãy xác định giá trị nhỏ nhất của $d(t)$ trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$ và trạng thái tương ứng của hệ thống?

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:975432
Phương pháp giải

Thiết lập hàm số biểu diễn khoảng cách $d(t) = h(t) - p(t)$ với $t \geq 0$.

Sử dụng đạo hàm để khảo sát sự biến thiên của hàm số $d(t)$ trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của $d(t)$.

So sánh với ngưỡng 5,2 m để kết luận trạng thái.

Giải chi tiết

Khoảng cách theo phương thẳng đứng giữa đầu gắp và băng chuyền là:

$d(t) = h(t) - p(t) = \left( {12 + t^{2}e^{- t}} \right) - \left\lbrack {7 + (4t - 4)e^{- t}} \right\rbrack$

$d(t) = 5 + (t^{2} - 4t + 4)e^{- t} = 5 + {(t - 2)}^{2}e^{- t}$ với $t \geq 0$

Ta tính đạo hàm của hàm số $d(t)$:

$d'(t) = 2(t - 2)e^{- t} + {(t - 2)}^{2}( - e^{- t}) = e^{- t}(t - 2)\lbrack 2 - (t - 2)\rbrack = e^{- t}(t - 2)(4 - t)$

$\left. d'(t) = 0\Leftrightarrow e^{- t}(t - 2)(4 - t) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {t = 2} \\ {t = 4} \end{array} \right. \right.$

Ta có:

$d(0) = 5 + 4 = 9$

$d(2) = 5 + 0 = 5$

$d(4) = 5 + 4e^{- 4} \approx 5,07$

$\lim\limits_{t\rightarrow + \infty}d(t) = \lim\limits_{t\rightarrow + \infty}\left\lbrack {5 + \dfrac{{(t - 2)}^{2}}{e^{t}}} \right\rbrack = 5$

Vậy $\min d(t) = d(2) = 5$ (m).

Vì 5 < 5,2 nên hệ thống sẽ phát cảnh báo.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Nhận biết

Tại thời điểm bắt đầu quan sát ($t = 0$), chênh lệch độ cao giữa vị trí đầu gắp rô-bốt A và bề mặt băng chuyền B là bao nhiêu?

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:975433
Phương pháp giải

Thay $t = 0$ vào hàm số $d(t)$ đã thiết lập ở trên để tìm chênh lệch độ cao ban đầu.

Giải chi tiết

Hàm số biểu diễn khoảng cách là $d(t) = 5 + {(t - 2)}^{2}e^{- t}$.

Tại thời điểm bắt đầu quan sát $t = 0$, khoảng cách (chênh lệch độ cao) là:

$d(0) = 5 + {(0 - 2)}^{2}e^{0} = 5 + 4 \cdot 1 = 9\text{(m)}$

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

Để đảm bảo sự đồng bộ tĩnh, kỹ sư cần xác định thời điểm $t_{a}$ khi tốc độ thay đổi khoảng cách $v(t) = d'(t)$ đạt giá trị lớn nhất lần đầu tiên. Khi đó giá trị của $t_{a}$ bằng (đơn vị: giây, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:975434
Phương pháp giải

Khảo sát hàm số vận tốc $v(t) = d'(t)$ trên nửa khoảng $\lbrack 0; + \infty)$.

Tính đạo hàm $v'(t)$ và giải phương trình $v'(t) = 0$ để tìm các điểm cực trị.

Lập bảng xét dấu $v'(t)$ để tìm thời điểm $t_{a}$ mà $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất.

Giải chi tiết

Ta có hàm tốc độ thay đổi khoảng cách là: $v(t) = d'(t) = e^{- t}(t - 2)(4 - t) = e^{- t}( - t^{2} + 6t - 8)$

$v'(t) = - e^{- t}( - t^{2} + 6t - 8) + e^{- t}( - 2t + 6)$

$v'(t) = e^{- t}(t^{2} - 6t + 8 - 2t + 6) = e^{- t}(t^{2} - 8t + 14)$

Cho $\left. v'(t) = 0\Leftrightarrow t^{2} - 8t + 14 = 0 \right.$ $\left. \Rightarrow t = 4 \pm \sqrt{2} \right.$

Cả hai nghiệm $t_{1} = 4 - \sqrt{2}$ và $t_{2} = 4 + \sqrt{2}$ đều thuộc $\lbrack 0; + \infty)$.

Khảo sát hàm số ta thấy $v(t)$ đạt giá trị lớn nhất lần đầu tiên tại: $t_{a} = 4 - \sqrt{2} \approx 2,59$ giây

Đáp án cần chọn là: D

Quảng cáo

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn

Khảo sát học từ vựng tiếng Anh

Chỉ mất 3 phút để chia sẻ trải nghiệm học từ vựng của bạn. Nhận quyền trải nghiệm ứng dụng miễn phí trước khi ra mắt.

Tham gia khảo sát →