Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành

Câu hỏi số 976015:

Thông hiểu

Một công ty dự định thuê một kho xưởng và điều động một số công nhân để hoàn thành đơn hàng 1000 sản phẩm. Chi phí thuê kho xưởng được tính theo ngày với giá 3 triệu đồng một ngày. Biết một ngày mỗi công nhân làm được 5 sản phẩm và công ty dự định thưởng mỗi công nhân 1 triệu đồng sau khi đơn hàng được hoàn thành. Công ty muốn tổng chi phí thuê kho xưởng và thưởng công nhân khi hoàn thành đơn hàng là nhỏ nhất. Hỏi công ty nên điều động bao nhiêu công nhân và thuê kho xưởng trong bao nhiêu ngày?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976015

Phương pháp giải

Lập hàm số biểu diễn tổng chi phí theo số lượng công nhân. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM và tính chất nghiệm nguyên để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi số công nhân công ty điều động là (công nhân) ($x \in {\mathbb{N}}^{*}$),

số ngày công ty thuê kho xưởng để hoàn thành đơn hàng là $y$ (ngày) ($y \in {\mathbb{N}}*$).

Trong một ngày, 1 công nhân làm được 5 sản phẩm nên công nhân làm được $5x$(sản phẩm)

Trong $y$ ngày, số sản phẩm mà công nhân làm được là $5xy$ (sản phẩm).

Vì tổng số sản phẩm cần hoàn thành là $1000$ sản phẩm nên ta có phương trình:

$5xy = 1000$

Tổng chi phí của công ty gồm hai khoản là chi phí thuê kho xưởng là $3y$ (triệu đồng) và chi phí thưởng công nhân là $1.x = x$ (triệu đồng)

Khi đó, tổng chi phí của công ty là $T = 3y + x$

Thay $y = \dfrac{200}{x}$ vào biểu thức $T$, ta được: $T = 3 \cdot \left( \dfrac{200}{x} \right) + x = \dfrac{600}{x} + x$

Vì $x > 0$, ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số dương $\dfrac{600}{x}$ và $x$ ta có $T = \dfrac{600}{x} + x \geq 2\sqrt{\dfrac{600}{x} \cdot x} = 2\sqrt{600} = 2 \cdot 10\sqrt{6} = 20\sqrt{6} \approx 48,99$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $\left. \dfrac{600}{x} = x\Rightarrow x^{2} = 600\Rightarrow x = \sqrt{600} \approx 24,49 \right.$

Do số công nhân $x$ phải là một số nguyên ($x \in {\mathbb{N}}^{*}$), nên $x \in \left\{ 24;25 \right\}$

+ Trường hợp 1: Nếu $x = 24$thì $y = \dfrac{200}{24} = \dfrac{25}{3}$ tức là $y \geq 9$ ngày.

Khi đó, tổng chi phí là: $T \geq 3 \cdot 9 + 24 = 51$ (triệu đồng).

+ Trường hợp 2: Nếu $x = 25$ thì $y = \dfrac{200}{25} = 8$.

Khi đó, tổng chi phí là: $T = 3 \cdot 8 + 25 = 24 + 25 = 49$ (triệu đồng).

Vậy để tổng chi phí là nhỏ nhất, công ty nên điều động 25 công nhân và thuê kho xưởng trong 8 ngày.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link