1) Một xô đựng nước dạng hình trụ có chiều cao bằng 25 cm và bán kính đáy bằng 12 cm. (Lấy

Câu hỏi số 976014:

Thông hiểu

1) Một xô đựng nước dạng hình trụ có chiều cao bằng 25 cm và bán kính đáy bằng 12 cm. (Lấy và coi độ dày của xô đựng nước không đáng kể).

a) Tính diện tích xung quanh của xô đựng nước đó.

b) Người ta dùng xô đựng nước trên để múc nước đổ vào một bể có thể tích 150 lít. Mỗi lần người ta chỉ múc lượng nước bằng 80% thể tích của xô. Lúc đầu bể không có nước, hỏi cần múc ít nhất bao nhiêu xô để đổ đầy bể? (Biết 1 lít = 1000 $cm^{3}$).

2) Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính BC. Lấy điểm H thuộc đoạn thẳng AB sao cho HB > HA (H khác A). Kẻ đường thẳng qua H vuông góc với đường thẳng BC tại điểm D và cắt đường thẳng AC tại điểm E.

a) Chứng minh bốn điểm A, H, D, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng CH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng ED cắt đường thẳng DF tại điểm M. Chứng minh AE.BC = EH.AB và $\widehat{EMH} = 90^{{^\circ}}$.

c) Đường thẳng BM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai K. Chứng minh tam giác HKM là tam giác cân.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976014

Phương pháp giải

1) Dùng công thức diện tích xung quanh hình trụ $S_{xq} = 2\pi rh$ và thể tích $V = \pi r^{2}h$.

a) Chỉ ra tứ giác AHDC có tổng hai góc đối bằng $180^{{^\circ}}$.

b) Chứng minh hai tam giác $\Delta EAH$ và $\Delta BAC$ đồng dạng để suy ra tỉ số. Chứng minh tính chất đối xứng qua ED để suy ra góc.

c) Dùng hệ thức lượng và tính chất phương tích để suy ra độ dài bằng nhau.

Giải chi tiết

a) Diện tích xung quanh của xô đựng nước hình trụ là:

$S_{xq} = 2\pi rh \approx 2.3,14.12.25 = 1884$ ($cm^{2}$).

Vậy diện tích xung quanh của xô đựng nước đó là 1884 $cm^{2}$.

b) Thể tích của xô đựng nước hình trụ là:

$V_{X} = \pi \cdot r^{2} \cdot h \approx 3,14 \cdot 12^{2} \cdot 25 = 11304$ ($cm^{3}$).

Lượng nước múc được trong mỗi lần là:

$V_{N} = V_{X} \cdot 80\% = 11304 \cdot 0,8 = 9043,2$ ($cm^{3}$).

Thể tích của bể nước là: $V_{B} = 150$ lít = $150 \cdot 1000 = 150000$ ($cm^{3}$).

Số lần múc nước (số xô) để đổ đầy bể là: $V_{B}:V_{N} = 150000:9043,2 \approx 16,59$ (xô).

Vì số xô nước phải là số nguyên và để đổ đầy bể thì lượng nước múc vào phải không ít hơn thể tích bể, nên ta chọn số nguyên nhỏ nhất lớn hơn 16,59 là 17.

Vậy cần múc ít nhất 17 xô để đổ đầy bể.

a) Vì $\Delta ABC$ vuông tại A nên $\angle HAC = 90^{0}$. Nên $\Delta AHC$ vuông tại A

Suy ta A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính HC

Vì $HD\bot BC$ tại D nên $\Delta HDC$ vuông tại D

Suy ra $H,D,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính HC

Vậy $H,D,C,A$ cùng thuộc đường tròn đường kính HC

b) Chứng minh AE.BC = EH.AB

Do $AHDC$ là tứ giác nội tiếp nên $\angle ACD + \angle AHD = 180^{0}$

Mà $\angle BHD + \angle AHD = 180^{0}$ (hai góc kề bù) nên $\angle ACD = \angle BHD$

Suy ra $\angle ACB = \angle EHA$ (do $\angle EHA = \angle BHD$ là cặp góc đối đỉnh)

Xét $\Delta EAH$ và $\Delta BAC$ có:

$\angle EAH = \angle BAC = 90^{{^\circ}}$

$\angle EHA = \angle ACB$

Suy ra $\left. \Delta EAH \right.\sim\Delta BAC\left( {g.g} \right)$

Nên $\left. \dfrac{EA}{BA} = \dfrac{EH}{BC}\Rightarrow AE.BC = EH.AB \right.$

Chứng minh $\angle EMH = 90^{{^\circ}}$

Xét $\Delta EBC$ có $ED\bot BC$, $BA\bot AC$, H là giao của AB và ED

Do đó H là trực tâm của $\Delta EBC$ hay $CF\bot BE$ tại F

Mà $\angle BFC = 90^{{^\circ}}$ (do $\Delta BFC$ nội tiếp đường tròn đk BC)

Suy ra B, E, F thẳng hàng.

Chứng minh tương tự ý a ta được BFHD là tứ giác nội tiếp

Do đó $\angle MFE = \angle BFD = \angle BHD$

mà $\angle BHD = \angle ACD$ nên $\angle MFE = \angle ACD$ (1)

Mặt khác $AM \parallel BC$ (do cùng vuông góc với ED)

Do đó $\angle EAM = \angle ACB$ (2)

Từ (1), (2) ta được $\angle EAM = \angle EFM$

Gọi G là giao của AM và EF

Khi đó $\Delta GFM \backsim \Delta GAE$ (g.g) nên $\dfrac{GM}{GE} = \dfrac{GF}{GA}$

Mà $\angle MGE = \angle FGA$ (2 góc đối đỉnh) nên $\Delta GME \backsim \Delta GFA$ (c.g.c)

Do đó $\angle GME = \angle GFA$

Mà $\angle GFA = \angle ACD$ (do cùng cộng $\angle AFB$ bằng $180^{0}$) nên

$\angle GME = \angle ACB = \angle EAM$. Suy ra $\Delta MEA$ cân tại $E$.

Mà $AM\bot EH$ nên EH là trung trực của AM

Từ đây ta được $\angle EMH = \angle EAH = 90^{{^\circ}}$

c) Ta có HE là trung trực của AM (chứng minh câu b) nên HM = HA

Vì $\left. AM \parallel BC\Rightarrow\angle HAM = \angle ABC \right.$ (so le trong).

Do $\Delta HAM$ cân tại H là: $\angle AHM = 180^{{^\circ}} - (\angle HAM + \angle HMA) = 180^{{^\circ}} - 2\angle ABC$

Xét đường tròn (O), tứ giác ABKC nội tiếp nên $\angle AKM = \angle ACB$

Trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$: $\angle ACB = 90^{{^\circ}} - \angle ABC$.

Suy ra $\angle AKM = 90^{{^\circ}} - \angle ABC$.

Suy ra $\angle AHM = 2\angle AKM$.

Xét đường tròn tâm H, bán kính HA.

Giả sử tia BM cắt đường tròn (H) tại điểm K'.

Khi đó, góc nội tiếp chắn cung AM là $\angle AK'M = \dfrac{1}{2}\angle AHM = 90^{{^\circ}} - \angle ABC$.

Như vậy $\angle AK'M = \angle AKM$.

Do K và K' cùng nằm trên tia MB và cùng nhìn đoạn AM dưới một góc không đổi, nên K phải trùng với K'.

Suy ra K nằm trên đường tròn (H), tức là HK = HM

Suy ra $HM = HK$ hay $\Delta HKM$ cân tại $H$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link