Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến SA và SB của

Câu hỏi số 976239:

Vận dụng

Cho đường tròn (O) và điểm S nằm ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến SA và SB của đường tròn (O), (với A, B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp.

b) Tia BO cắt đường tròn (O) tại C; SC cắt đường tròn (O) tại D; DO cắt đường tròn (O) tại E; SO cắt AB tại F. Gọi K là trung điểm của CD. Chứng minh KE song song với DF.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976239

Phương pháp giải

a) Dựa vào dấu hiệu nhận biết tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{{^\circ}}$.

b) Chứng minh BDCE là hình chữ nhật. Tính $\tan(\angle CKE)$.

Chứng minh FDCO là tứ giác nội tiếp.

Chứng minh $\angle CKE = \angle FDC$ thông qua tỉ số lượng giác $\tan$.

Suy ra hai góc đồng vị bằng nhau, từ đó chứng minh được $KE \parallel DF$.

Giải chi tiết

a) Do SA, SB là tiếp tuyến của (O) nên $\angle SAO = \angle SBO = 90^{0}$

Khi đó $\Delta SOA$ vuông tại A nên S, O, A cùng thuộc đường tròn đường kính SO

Tương tự $\Delta SOB$ vuông tại B nên S, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính SO

Vậy S, O, A, B cùng thuộc đường tròn đường kính SO hay tứ giác SAOB nội tiếp.

b) Ta có SA = SB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và OA = OB = R.

Suy ra SO là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Do đó, $SO\bot AB$ tại F.

Xét $\Delta SAF$ và $\Delta SOA$ có $\angle ASO$ chung và $\angle SFA = SAO = 90^{0}$

Suy ra $\left. \Delta SAF \right.\sim\Delta SOA\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{SA}{SO} = \dfrac{SF}{SA}$ hay $SA^{2} = SO.SF$ (1)

Ta có BC là đường kính nên $\angle BDC = 90^{0}$

Khi đó $\angle BDC = \angle SBC = 90^{0}$ và $\angle BSC$ chung nên $\left. \Delta SBD \right.\sim\Delta SCB\left( {g.g} \right)$

Suy ra $\dfrac{SB}{SC} = \dfrac{SD}{SB}$ hay $SC.SD = SB^{2}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $SC.SD = SF.SO$ hay $\dfrac{SC}{SF} = \dfrac{SO}{SD}$

Kết hợp với $\angle CSO$ chung suy ra $\left. \Delta SDF \right.\sim\Delta SOC\left( {c.g.c} \right)$

Suy ra $\angle SDF = \angle SOC$ nên suy ra $\angle CDF = \angle SOB$ (do các góc kề bù) (4)

Ta có $\Delta OCD$ cân tại O (do $OC = OD = R$) và OK là trung tuyến nên OK đồng thời là phân giác của $\angle COD$.

Suy ra OK cũng là phân giác của $\angle BOE$.

Gọi OK cắt BE tại M. Suy ra OM là phân giác của $\angle BOE$

Mà $\Delta BOE$ cận tại O nên OM đồng thời là trung trực của BE

Mà K nằm trên đường thẳng OM nên K cách đều E, B hay $KE = KB$

Suy ra $\Delta KEB$ cân tại K có KM là đường trung trực nên sẽ đồng thời là phân giác

Khi đó $\angle EKM = \angle BKM$

Suy ra $\angle CKO - \angle EKM = \angle DKO - \angle BKM$ hay $90^{0} - \angle EKM = 90^{0} - \angle BKM$

Khi đó $\angle CKE = \angle SKB$ (5)

Ta có $\Delta SOK$ vuông tại K nên K thuộc đường tròn đường kính SO

Suy ra $\angle SKB = \angle SOB$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung SB) (6)

Từ (4), (5), (6) suy ra $\angle CKE = \angle CDF$

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên $KE \parallel DF$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link