Cho $\tan x = m$ và biểu thức $B = \dfrac{2 + 5\sin^2 x}{4\cos^2 x + 3}$. Mối liên hệ giữa $B$ và $m$

Câu hỏi số 976277:

Thông hiểu

Cho $\tan x = m$ và biểu thức $B = \dfrac{2 + 5\sin^2 x}{4\cos^2 x + 3}$. Mối liên hệ giữa $B$ và $m$ là?

A. $B = \dfrac{7m^2 + 2}{3m^2 + 7}$

B. $B = \dfrac{5m^2 + 2}{4m^2 + 3}$

C. $B = \dfrac{7m^2 - 2}{3m^2 + 7}$

D. $B = \dfrac{2m^2 + 7}{7m^2 + 3}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976277

Phương pháp giải

Để tính giá trị của một biểu thức lượng giác chứa $\sin^2 x$ và $\cos^2 x$ khi biết $\tan x$, ta thường dùng một trong hai cách:

Cách 1: Đưa các hệ số tự do về dạng lượng giác bằng cách nhân với $(\sin^2 x + \cos^2 x)$, từ đó đưa biểu thức về dạng thuần nhất bậc hai đối với $\sin x$ và $\cos x$. Sau đó chia cả tử và mẫu cho $\cos^2 x$.

Cách 2: Chia trực tiếp cả tử và mẫu cho $\cos^2 x$, kết hợp sử dụng hằng đẳng thức $\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x$.

Giải chi tiết

Ta biến đổi biểu thức $B$ như sau:

$B = \dfrac{2 + 5\sin^2 x}{4\cos^2 x + 3}$

Thay $2 = 2(\sin^2 x + \cos^2 x)$ và $3 = 3(\sin^2 x + \cos^2 x)$ vào biểu thức:

$B = \dfrac{2(\sin^2 x + \cos^2 x) + 5\sin^2 x}{4\cos^2 x + 3(\sin^2 x + \cos^2 x)}$

$B = \dfrac{2\sin^2 x + 2\cos^2 x + 5\sin^2 x}{4\cos^2 x + 3\sin^2 x + 3\cos^2 x}$

$B = \dfrac{7\sin^2 x + 2\cos^2 x}{3\sin^2 x + 7\cos^2 x}$

Vì $\tan x = m$ xác định nên $\cos x \neq 0$. Chia cả tử và mẫu của phân thức cho $\cos^2 x$, ta được:

$B = \dfrac{\dfrac{7\sin^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{2\cos^2 x}{\cos^2 x}}{\dfrac{3\sin^2 x}{\cos^2 x} + \dfrac{7\cos^2 x}{\cos^2 x}}$

$B = \dfrac{7\tan^2 x + 2}{3\tan^2 x + 7}$

Thay $\tan x = m$ vào biểu thức rút gọn, ta có kết quả cuối cùng:

$B = \dfrac{7m^2 + 2}{3m^2 + 7}$

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.