Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0; +\infty)$ thỏa mãn $xf'(x) - f(x) = 3$. Biết $f(1)

Câu hỏi số 976278:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x)$ liên tục và có đạo hàm trên $(0; +\infty)$ thỏa mãn $xf'(x) - f(x) = 3$. Biết $f(1) = 2$. Tính $f(e)$.

A. $5e - 3$.

B. $5e + 3$.

C. $2e - 3$.

D. $3e - 2$.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976278

Phương pháp giải

Nhận dạng phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất. Bằng cách chia cả hai vế của giả thiết cho $x^2$, ta có thể đưa vế trái về dạng đạo hàm của một thương: $\left( \dfrac{u}{v} \right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$.

Lấy nguyên hàm hai vế để tìm hàm số $f(x)$.

Sử dụng điều kiện ban đầu $f(1) = 2$ để tìm hằng số $C$, từ đó xác định chính xác hàm số $f(x)$ và tính $f(e)$.

Giải chi tiết

Từ giả thiết ta có:

$xf'(x) - f(x) = 3$

Vì bài toán xét trên khoảng $(0; +\infty)$ nên $x > 0$. Chia cả hai vế của phương trình cho $x^2$, ta được:

$\dfrac{xf'(x) - f(x)}{x^2} = \dfrac{3}{x^2}$

Nhận thấy vế trái chính là đạo hàm của phân thức $\dfrac{f(x)}{x}$, ta viết lại phương trình:

$\left( \dfrac{f(x)}{x} \right)' = \dfrac{3}{x^2}$

Lấy nguyên hàm hai vế theo biến $x$, ta có:

$\dfrac{f(x)}{x} = \int \dfrac{3}{x^2} dx$

$\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{x} = -\dfrac{3}{x} + C$

$\Rightarrow f(x) = Cx - 3$

Theo giả thiết, ta có $f(1) = 2$. Thay $x = 1$ vào biểu thức của $f(x)$, ta được:

$2 = C \cdot 1 - 3$

$\Leftrightarrow C = 5$

Vậy hàm số cần tìm là $f(x) = 5x - 3$.

Từ đó, ta tính được giá trị của $f(e)$:

$f(e) = 5e - 3$.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.