Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 9 cm, BC = 15 cm. Đường phân giác trong góc B cắt cạnh AC

Câu hỏi số 976394:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A, biết AB = 9 cm, BC = 15 cm. Đường phân giác trong góc B cắt cạnh AC tại D. Vẽ đường tròn tâm I nội tiếp tam giác BCD. Tổng diện tích phần hình phẳng tô đậm (tham khảo hình vẽ bên dưới) giới hạn bởi ba cạnh của tam giác BCD và đường tròn (I) bằng bao nhiêu cm²? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười, lấy $\pi \approx 3,14$.)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976394

Phương pháp giải

Áp dụng định lý Pythagore và tính chất đường phân giác để tính độ dài các cạnh của tam giác BCD. Tính diện tích tam giác BCD, sau đó tìm bán kính đường tròn nội tiếp thông qua công thức liên hệ với nửa chu vi. Cuối cùng, tính diện tích đường tròn và suy ra diện tích phần tô đậm.

Giải chi tiết

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore ta có:

$AC = \sqrt{BC^{2} - AB^{2}} = \sqrt{15^{2} - 9^{2}} = \sqrt{144} = 12$ (cm).

Vì BD là đường phân giác của $\angle ABC$ nên theo tính chất đường phân giác, ta có:

$\dfrac{AD}{CD} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{9}{15} = \dfrac{3}{5}$.

Suy ra $\dfrac{AD}{3} = \dfrac{CD}{5} = \dfrac{AD + CD}{3 + 5} = \dfrac{AC}{8} = \dfrac{12}{8} = 1,5$.

Do đó $CD = 5 \cdot 1,5 = 7,5$ (cm) và $AD = 3 \cdot 1,5 = 4,5$ (cm).

Diện tích tam giác vuông ABC là: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 12 = 54$ (cm${}^{2}$).

Diện tích tam giác vuông ABD là: $S_{ABD} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4,5 = 20,25$ (cm${}^{2}$).

Diện tích tam giác BCD là: $S_{BCD} = S_{ABC} - S_{ABD} = 54 - 20,25 = 33,75$ (cm${}^{2}$).

Xét tam giác ABD vuông tại $A$, độ dài đoạn thẳng BD là:

$BD = \sqrt{AB^{2} + AD^{2}} = \sqrt{9^{2} + 4,5^{2}} = \sqrt{101,25} = \dfrac{9\sqrt{5}}{2}$ (cm).

Nửa chu vi tam giác BCD là:

$p = \dfrac{BC + CD + BD}{2} = \dfrac{15 + 7,5 + \dfrac{9\sqrt{5}}{2}}{2} = \dfrac{45 + 9\sqrt{5}}{4}$ (cm).

Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác BCD là:

$r = \dfrac{S_{BCD}}{p} = \dfrac{33,75}{\dfrac{45 + 9\sqrt{5}}{4}} = \dfrac{135}{45 + 9\sqrt{5}} = \dfrac{15}{5 + \sqrt{5}} = \dfrac{3(5 - \sqrt{5})}{4}$ (cm).

Diện tích đường tròn $(I)$ là:

$S_{(I)} = \pi r^{2} \approx 3,14 \cdot \left( \dfrac{3(5 - \sqrt{5})}{4} \right)^{2} \approx 3,14 \cdot 4,297 \approx 13,493$ (cm${}^{2}$).

Diện tích phần tô đậm là:

$S = S_{BCD} - S_{(I)} \approx 33,75 - 13,493 = 20,257$ (cm${}^{2}$).

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta được 20,3 cm².

Đáp án cần điền là: 20,3

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link