Cho phương trình $x^{2} - 4x - 26 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$ với $x_{1} < x_{2}$. Giá

Câu hỏi số 976396:

Vận dụng

Cho phương trình $x^{2} - 4x - 26 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$ với $x_{1} < x_{2}$. Giá trị của biểu thức $P = {(x_{1}^{2} + 4x_{2} - 27)}^{2} - x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ có dạng $a + b\sqrt{30}$ với $a,b \in {\mathbb{N}}^{*}$. Tính tổng $a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976396

Phương pháp giải

Giải phương trình bậc hai để tìm nghiệm cụ thể. Áp dụng định lý Vi-ét để tính tổng và tích các nghiệm, kết hợp với tính chất của nghiệm để hạ bậc biểu thức và rút gọn P.

Giải chi tiết

Xét phương trình $x^{2} - 4x - 26 = 0$ có $\Delta' = {( - 2)}^{2} - 1 \cdot ( - 26) = 4 + 26 = 30 > 0$.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: $x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{30}$.

Do giả thiết $x_{1} < x_{2}$ nên $x_{1} = 2 - \sqrt{30}$ và $x_{2} = 2 + \sqrt{30}$.

Theo định lý Vi-ét, ta có: $x_{1} + x_{2} = 4$ và $x_{1}x_{2} = - 26$.

Vì $x_{1}$ là một nghiệm của phương trình nên ta có: $\left. x_{1}^{2} - 4x_{1} - 26 = 0\Rightarrow x_{1}^{2} = 4x_{1} + 26 \right.$.

Thay vào biểu thức trong ngoặc của $P$, ta được:

$x_{1}^{2} + 4x_{2} - 27 = (4x_{1} + 26) + 4x_{2} - 27 = 4(x_{1} + x_{2}) - 1 = 4 \cdot 4 - 1 = 15$.

Phân tích phần còn lại của $P$:

$- x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = x_{2}^{3} - x_{1}^{3} = (x_{2} - x_{1})(x_{2}^{2} + x_{1}x_{2} + x_{1}^{2}) = (x_{2} - x_{1})\lbrack{(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1}x_{2}\rbrack$.

Thay các giá trị đã biết vào:

$x_{2} - x_{1} = (2 + \sqrt{30}) - (2 - \sqrt{30}) = 2\sqrt{30}$.

${(x_{1} + x_{2})}^{2} - x_{1}x_{2} = 4^{2} - ( - 26) = 16 + 26 = 42$.

Suy ra: $- x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 2\sqrt{30} \cdot 42 = 84\sqrt{30}$.

Thay tất cả vào biểu thức $P$, ta có:

$P = 15^{2} + 84\sqrt{30} = 225 + 84\sqrt{30}$.

Đồng nhất với biểu thức $P = a + b\sqrt{30}$, ta được $a = 225$ và $b = 84$.

Tổng cần tìm là $a + b = 225 + 84 = 309$.

Đáp án cần điền là: 309

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link