Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được

Câu hỏi số 976578:

Vận dụng

Lấy ngẫu nhiên một số tự nhiên có 5 chữ số. Xác suất để chọn được số tự nhiên có dạng $\overline{a_1a_2a_3a_4a_5}$ trong đó: $a_1 \le a_2 + 2 \le a_3 - 6 < a_4 \le a_5 + 1$ là $a$. Giá trị của $\dfrac{1}{a}$ bằng bao nhiêu (làm tròn đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:976578

Phương pháp giải

Tính số phần tử của không gian mẫu $n(\Omega)$, là số lượng các số tự nhiên có 5 chữ số.

Chia trường hợp cho chữ số $a_{3}$ dựa trên điều kiện $a_2 + 2 \le a_3 - 6$ và các ràng buộc về chữ số.

Đếm số bộ $(a_{1},a_{2})$ và $(a_{4},a_{5})$ thỏa mãn trong từng trường hợp của $a_{3}$.

Tính xác suất a và giá trị của $\dfrac{1}{a}$, sau đó làm tròn kết quả.

Giải chi tiết

Số lượng các số tự nhiên có 5 chữ số là $n(\Omega) = 9 \cdot 10^4 = 90000$.

Xét các chữ số $a_i \in \{0; 1; \dots, 9\}$ và $a_1 \in \{1; 2; \dots, 9\}$.

Từ dãy bất đẳng thức $a_1 \le a_2 + 2 \le a_3 - 6 < a_4 \le a_5 + 1$, ta có:

$a_3 - 6 \ge a_2 + 2$

Vì $a_2 \ge 0 \Rightarrow a_2 + 2 \ge 2$, nên $a_3 - 6 \ge 2 \Rightarrow a_3 \ge 8$.

Do $a_3$ là chữ số nên $a_3 \in \{8, 9\}$.

Trường hợp 1: $a_3 = 8$

Điều kiện trở thành: $a_1 \le a_2 + 2 \le 2 < a_4 \le a_5 + 1$.

Xét cặp $(a_1; a_2)$: $a_2 + 2 \le 2 \Rightarrow a_2 = 0$.

Khi đó $a_1 \le 2$. Mà $a_1 \in \{1; \dots; 9\}$ nên $a_1 \in \{1; 2\}$.

Có 2 cặp $(a_1, a_2)$ là $(1; 0)$ và $(2; 0)$.

Xét cặp $(a_4, a_5)$: $2 < a_4 \le a_5 + 1 \Rightarrow a_4 \in \{3; 4; \dots, 9\}$.

- Nếu $a_4 = 3 \Rightarrow a_5 + 1 \ge 3 \Rightarrow a_5 \in \{2; \dots; 9\}$ (8 giá trị).

- Nếu $a_4 = 4 \Rightarrow a_5 \in \{3; \dots; 9\}$ (7 giá trị).

...

- Nếu $a_4 = 9 \Rightarrow a_5 \in \{8; 9\}$ (2 giá trị).

Tổng số cách chọn $(a_4; a_5)$ là: $8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 35$.

Số số thỏa mãn khi $a_3 = 8$ là: $2 \cdot 35 = 70$.

Trường hợp 2: $a_3 = 9$

Điều kiện trở thành: $a_1 \le a_2 + 2 \le 3 < a_4 \le a_5 + 1$.

Xét cặp $(a_1; a_2)$: $a_2 + 2 \le 3 \Rightarrow a_2 \in \{0; 1\}$.

- Nếu $a_2 = 0 \Rightarrow a_1 \le 2 \Rightarrow a_1 \in \{1; 2\}$ (2 cặp).

- Nếu $a_2 = 1 \Rightarrow a_1 \le 3 \Rightarrow a_1 \in \{1; 2; 3\}$ (3 cặp).

Tổng cộng có 5 cặp $(a_1; a_2)$.

Xét cặp $(a_4, a_5)$: $3 < a_4 \le a_5 + 1 \Rightarrow a_4 \in \{4; 5; \dots; 9\}$.

- Nếu $a_4 = 4 \Rightarrow a_5 \in \{3; \dots; 9\}$ (7 giá trị).

...

- Nếu $a_4 = 9 \Rightarrow a_5 \in \{8; 9\}$ (2 giá trị).

Tổng số cách chọn $(a_4; a_5)$ là: $7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 27$.

Số số thỏa mãn khi $a_3 = 9$ là: $5 \cdot 27 = 135$.

Tổng số kết quả thuận lợi: $n(A) = 70 + 135 = 205$.

Xác suất $a = \dfrac{205}{90000}$. Giá trị $\dfrac{1}{a} = \dfrac{90000}{205} \approx 439$.

Đáp án cần điền là: 439

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.