Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{5\sqrt{x}

Câu hỏi số 977486:

Vận dụng

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{5\sqrt{x} - 2}{x - 4}$ với $x > 0,x \neq 4$

Tính giá trị của biểu thức A khi $x = 9$.

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9.

b) Rút gọn biểu thức B.

c) Tìm giá trị của x để biểu thức $\dfrac{A}{B}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:977486

Phương pháp giải

a) Thay giá trị của x vào biểu thức A để tính.

b) Quy đồng mẫu thức, thực hiện phép tính để rút gọn B.

c) Lập biểu thức $P = \dfrac{A}{B}$, sử dụng bất đẳng thức Cô-si (AM-GM) để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

a) Thay $x = 9$ (thỏa mãn điều kiện $x > 0,x \neq 4$) vào biểu thức A, ta có:

$A = \dfrac{9 + 3}{\sqrt{9} - 2} = \dfrac{12}{3 - 2} = \dfrac{12}{1} = 12$

Vậy khi $x = 9$ thì giá trị của biểu thức A bằng 12.

b) Với $x > 0,x \neq 4$, ta có:

$B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 2} + \dfrac{5\sqrt{x} - 2}{x - 4}$

$B = \dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 2)} + \dfrac{5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$

$B = \dfrac{x - 2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 2 + 5\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$

$B = \dfrac{x + 2\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}$

$B = \dfrac{\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}$

$B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$

Vậy $B = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2}$ với $x > 0,x \neq 4$.

c) Ta có: $P = \dfrac{A}{B} = \dfrac{x + 3}{\sqrt{x} - 2}:\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 2} = \dfrac{x + 3}{\sqrt{x} - 2} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} = \dfrac{x + 3}{\sqrt{x}} = \sqrt{x} + \dfrac{3}{\sqrt{x}}$

Vì $x > 0$ nên $\sqrt{x} > 0$ và $\dfrac{3}{\sqrt{x}} > 0$.

Ta có với $a \geq 0;b \geq 0$ thì $\left( {\sqrt{a} - \sqrt{b}} \right)^{2} \geq 0$

Suy ra $a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$ hay $a + b \geq 2\sqrt{ab}$

Dấu “=” có khi $a = b$

Áp dụng hai số dương $\sqrt{x}$ và $\dfrac{3}{\sqrt{x}}$, ta được:

$P = \sqrt{x} + \dfrac{3}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{x}}} = 2\sqrt{3}$

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\sqrt{x} = \dfrac{3}{\sqrt{x}}$, hay $x = 3$ (thoả mãn điều kiện $x > 0$ và $x \neq 4$).

Vậy biểu thức $\dfrac{A}{B}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $2\sqrt{3}$ khi $x = 3$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link