Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3m(m + 2)x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$

Câu hỏi số 978894:

Vận dụng

Cho hàm số $f(x) = x^{3} - 3(m + 1)x^{2} + 3m(m + 2)x$. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực $m$ để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:978894

Phương pháp giải

Tính đạo hàm $f'(x)$. Tìm các nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$. Xác định khoảng nghịch biến của hàm số theo tham số m. Để hàm số nghịch biến trên $(0;1)$ thì khoảng $(0;1)$ phải là tập con của khoảng nghịch biến vừa tìm được.

Giải chi tiết

Tập xác định: $D = {\mathbb{R}}$.

Đạo hàm: $f'(x) = 3x^{2} - 6(m + 1)x + 3m(m + 2)$.

Xét phương trình $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow x^{2} - 2(m + 1)x + m(m + 2) = 0 \right.$.

Ta có $\Delta' = {(m + 1)}^{2} - m(m + 2) = m^{2} + 2m + 1 - m^{2} - 2m = 1 > 0$.

Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt:

$x_{1} = m + 1 - 1 = m$

$x_{2} = m + 1 + 1 = m + 2$

Do hệ số $a = 3 > 0$ nên $f'(x) \leq 0$ khi $x \in \lbrack m;m + 2\rbrack$.

Hàm số nghịch biến trên khoảng $(m;m + 2)$.

Để hàm số nghịch biến trên khoảng $(0;1)$ thì $(0;1) \subset (m;m + 2)$.

$\left. \Leftrightarrow m \leq 0 \right.$ và $m + 2 \geq 1$

$\left. \Leftrightarrow m \leq 0 \right.$ và $m \geq - 1$

$\left. \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0 \right.$.

Vì $m$ là số nguyên nên $m \in \left\{ - 1;0 \right\}$. Có 2 giá trị nguyên thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.