Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 3x + m - 3 = 0$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của

Câu hỏi số 979010:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai $x^{2} - 3x + m - 3 = 0$, với $m$ là tham số. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{2}^{2} + 4x_{2}(x_{1} - 1) - x_{1} = m - 2$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979010

Phương pháp giải

Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm ($\Delta \geq 0$). Áp dụng hệ thức Vi-ét và sử dụng tính chất nghiệm của phương trình để hạ bậc, biến đổi yêu cầu bài toán.

Giải chi tiết

Xét phương trình $x^{2} - 3x + m - 3 = 0$ có các hệ số $a = 1,b = - 3,c = m - 3$.

Có $\Delta = b^{2} - 4ac = {( - 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (m - 3) = 21 - 4m$

Để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thì $\Delta = 21 - 4m \geq 0$ hay $m \leq \dfrac{21}{4}$.

Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 3\text{~~~~~~~~(1)}} \\ {x_{1}.x_{2} = m - 3\text{~~~~(2)}} \end{array} \right.$

Vì $x_{2}$ là một nghiệm của phương trình nên ta có:

$\left. x_{2}^{2} - 3x_{2} + m - 3 = 0\Leftrightarrow x_{2}^{2} = 3x_{2} - m + 3 \right.$

Thay vào biểu thức $x_{2}^{2} + 4x_{2}(x_{1} - 1) - x_{1} = m - 2$ ta được:

$x_{2}^{2} + 4x_{2}(x_{1} - 1) - x_{1} = m - 2$

$(3x_{2} - m + 3) + 4x_{1}x_{2} - 4x_{2} - x_{1} = m - 2$

$4x_{1}x_{2} - (x_{1} + x_{2}) - m + 3 = m - 2$

Thay (1) và (2) vào biểu thức trên, ta được:

$4(m - 3) - 3 - m + 3 = m - 2$

$4m - 12 - 3 - m + 3 = m - 2$

$3m - 12 = m - 2$

$2m = 10$

$m = 5$ (thỏa mãn).

Vậy giá trị của tham số m cần tìm là $m = 5$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link