Một doanh nghiệp muốn quy hoạch một khu đất có dạng hình chữ nhật ABCD với diện tích

Câu hỏi số 979014:

Vận dụng

Một doanh nghiệp muốn quy hoạch một khu đất có dạng hình chữ nhật ABCD với diện tích $67500m^{2}$ để làm khu liên hợp thể thao. Khu đất quy hoạch ABCD được mở rộng thành một khu đất có dạng là hình tròn đường kính AC và phần đất mở rộng thêm đó được dùng làm khu sinh thái (minh họa hình vẽ bên). Gọi x và y (theo đơn vị mét) là các kích thước của hình chữ nhật ABCD.

a) Tính diện tích phần đất làm khu sinh thái theo x và y.

b) Doanh nghiệp muốn thiết kế sao cho các kích thước x, y là các số tự nhiên và phần diện tích đất làm khu sinh thái đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó, hãy tính chu vi của khu đất ABCD theo đơn vị mét.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979014

Phương pháp giải

a) Diện tích khu sinh thái bằng diện tích hình tròn đường kính AC trừ đi diện tích hình chữ nhật ABCD.

b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của tổng bình phương, kết hợp phân tích ra thừa số nguyên tố để chọn cặp kích thước tự nhiên phù hợp.

Giải chi tiết

a) Theo đề bài, hình chữ nhật ABCD có hai kích thước là x và y (điều kiện: $x,y > 0)$

Diện tích của hình chữ nhật ABCD là: $x \cdot y = 67500$ ($m^{2}$).

Độ dài đường chéo của hình chữ nhật ABCD là AC = $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$.

Vì khu đất mở rộng có dạng hình tròn đường kính AC nên bán kính của hình tròn là: $r = \dfrac{1}{2}\text{AC} = \dfrac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{2}$.

Diện tích của khu đất hình tròn là:

$\pi \cdot r^{2} = \pi \cdot \left( \dfrac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{2} \right)^{2} = \dfrac{\pi(x^{2} + y^{2})}{4}$ ($m^{2}$).

Diện tích khu sinh thái là $\dfrac{\pi(x^{2} + y^{2})}{4} - xy$ ($m^{2}$).

Vì $xy = 67500$ nên ta có diện tích phần đất làm khu sinh thái theo $x,y$ là:

$\dfrac{\pi(x^{2} + y^{2})}{4} - 67500$.

b) Để phần diện tích đất làm khu sinh thái đạt giá trị nhỏ nhất thì biểu thức $\dfrac{\pi(x^{2} + y^{2})}{4} - 67500$ phải nhỏ nhất.

Hay $x^{2} + y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số thực dương $x^{2}$ và $y^{2}$, ta có:

$x^{2} + y^{2} \geq 2\sqrt{x^{2} \cdot y^{2}} = 2xy = 2 \cdot 67500 = 135000$.

Dấu "=" xảy ra khi $x^{2} = y^{2}$, hay $x = y = \sqrt{67500} = 150\sqrt{3} \approx 259,81$.

Do $x,y$ là các số tự nhiên và $x \cdot y = 67500$ nên $x,y$ là các ước của 67500.

Để tổng $x^{2} + y^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất thì x và y phải là cặp ước của 67500 có giá trị gần nhau nhất (tức là gần với giá trị 259,81 nhất).

Phân tích số 67500 ra thừa số nguyên tố: $67500 = 2^{2} \cdot 3^{3} \cdot 5^{4}$.

Cặp ước của 67500 gần với 259,81 nhất là 250 và 270 (vì $250 \cdot 270 = 67500$).

Khi đó, các kích thước của hình chữ nhật ABCD là $x = 250$m và $y = 270$m (hoặc $x = 270$m và $y = 250$m).

Chu vi của khu đất ABCD là:

$2(x + y) = 2(250 + 270) = 2 \cdot 520 = 1040$ (m).

Vậy chu vi của khu đất ABCD khi đó là 1040 mét.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link