Cho đường tròn (O; R) và điểm M ở bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với
Cho đường tròn (O; R) và điểm M ở bên ngoài đường tròn. Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn đó (A, B là các tiếp điểm).
a) Chứng minh AOBM là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi I là giao điểm của OM và AB, K là điểm thuộc đoạn thẳng BI. Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với OK tại H. Chứng minh $OK \cdot OH = R^{2}$.
c) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O), đường thẳng MD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai C (C khác D). Gọi E là trung điểm của MI. Chứng minh ba điểm A, C, E thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối bằng $180^{{^\circ}}$.
b) Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng để suy ra tỉ số các cạnh, kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông.
c) Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, hệ quả định lý Thales và chứng minh các cặp tam giác đồng dạng để suy luận.
a) $MA\bot OA$ (tính chất tiếp tuyến) nên $\Delta MOA$ vuông tại A
Suy ra M, O, A cùng thuộc đường tròn đường kính OM
$MB\bot OB$ (tính chất tiếp tuyến) nên $\Delta MOB$ vuông tại B
Suy ra M, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Vậy M, A, O, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM
Chứng tỏ AOBM là tứ giác nội tiếp.
b) Ta có $OA = OB = R$ và $MA = MB$ (tính chất tiếp tuyến)
$\left. \Rightarrow OM \right.$ là trung trực của AB
$\left. \Rightarrow OM\bot AB \right.$ tại I
Xét $\Delta OIK$ và $\Delta OHM$ có
$\angle MOH$ chung
$\angle OIK = \angle OHM$ ($= 90^{{^\circ}}$)
$\left. \Rightarrow\Delta OIK \backsim \Delta OHM \right.$ (g-g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{OI}{OH} = \dfrac{OK}{OM} \right.$ hay $OI \cdot OM = OH \cdot OK$ (1)
Xét $\Delta OIA$ và $\Delta OAM$ có
$\angle AOM$ chung
$\angle OIA = \angle OAM$ ($= 90^{{^\circ}}$)
$\left. \Rightarrow\Delta OIA \backsim \Delta OAM \right.$ (g-g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{OI}{OA} = \dfrac{OA}{OM} \right.$ hay $OA^{2} = OI \cdot OM$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $OA^{2} = OH \cdot OK$ hay $OH \cdot OK = R^{2}$.
Vậy $OH \cdot OK = R^{2}$ (đpcm).
c) Vì BD là đường kính nên $\angle DAB = 90^{{^\circ}}$ hay $DA\bot AB$
Mà $OM\bot AB$ nên $DA \parallel OM$
Tương tự ta có $\angle DCB = 90^{{^\circ}}$ (chắn đường kính BD)
nên $BC\bot DC$
Xét $\Delta MCB$ và $\Delta MBD$ có
$\angle DMB$ chung
$\angle MCB = \angle MBD$ ($= 90^{{^\circ}}$)
Suy ra $\Delta MCB \backsim \Delta MBD$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{MB}{MD} = \dfrac{MC}{MB}$ hay $MB^{2} = MC \cdot MD$
Tương tự ta có $\Delta MBI \backsim \Delta MOB$ (g.g) nên $MB^{2} = MI \cdot MO$
Suy ra $MI \cdot MO = MC \cdot MD$
$\left. \Rightarrow\dfrac{MI}{MC} = \dfrac{MD}{MO} \right.$
Mà $\angle IMC = \angle DMO$ nên suy ra $\Delta MCI \backsim \Delta MOD$ (c.g.c)
$\left. \Rightarrow\angle MIC = \angle MDO \right.$ (3)
Tương tự ta có $OI \cdot OM = R^{2} = OD^{2}$ nên $\dfrac{OI}{OD} = \dfrac{OD}{OM}$
Mà $\angle DOM$ chung
Suy ra $\Delta OID \backsim \Delta ODM$ (c.g.c)
$\left. \Rightarrow\angle OID = \angle ODM \right.$ (4)
Từ (3)(4) suy ra $\angle OID = \angle MIC$
$\left. \Rightarrow 90^{{^\circ}} - \angle OID = 90^{{^\circ}} - \angle MIC \right.$
$\left. \Rightarrow\angle DIA = \angle AIC \right.$
$\left. \Rightarrow IA \right.$ là phân giác của $\angle DIC$
Kẻ IC cắt DA tại P; AC cắt IM tại E'
Ta có $\Delta IDP$ có IA vừa là đường cao, vừa phân giác
$\left. \Rightarrow\Delta DIP \right.$ cân tại $\left. I\Rightarrow IA \right.$ là trung tuyến
$\left. \Rightarrow A \right.$ là trung điểm DP
Ta có $DP \parallel IM$ nên $\dfrac{DA}{ME'} = \dfrac{AC}{CE'} = \dfrac{AP}{IE'}$
Mà $\left. DA = AP\Rightarrow ME' = IE' \right.$
$\left. \Rightarrow E' \right.$ là trung điểm $\left. IM\Rightarrow E \equiv E' \right.$
Vậy ba điểm A, C, E thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
