Cho phương trình $x^{2} - 4x + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ ($x_{1} > x_{2}$). Không giải phương

Câu hỏi số 979031:

Vận dụng

Cho phương trình $x^{2} - 4x + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ ($x_{1} > x_{2}$). Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $P = (x_{2} + 3)\sqrt{x_{1}^{2} + 2x_{2} - 7} - x_{1}^{2}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979031

Phương pháp giải

Sử dụng định lí Vi-ét và biến đổi biểu thức dưới dấu căn để rút gọn P.

Giải chi tiết

Ta có $\Delta' = {( - 2)}^{2} - 1 \cdot 1 = 3 > 0$, do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

$x_{1} + x_{2} = 4$

$x_{1} \cdot x_{2} = 1$

Vì $x_{1} + x_{2} = 4$ và $x_{1} > x_{2}$ nên ta suy ra $x_{1} > 2$.

Suy ra $x_{1} - 1 > 1 > 0$

Từ hệ thức Vi-ét, ta có $2x_{2} = 2(4 - x_{1}) = 8 - 2x_{1}$.

Thay vào biểu thức dưới dấu căn, ta được:

$x_{1}^{2} + 2x_{2} - 7 = x_{1}^{2} + (8 - 2x_{1}) - 7$$= x_{1}^{2} - 2x_{1} + 1 = {(x_{1} - 1)}^{2}$

Do $x_{1} - 1 > 0$ nên ta có:

$\sqrt{x_{1}^{2} + 2x_{2} - 7} = \sqrt{{(x_{1} - 1)}^{2}} = \left| {x_{1} - 1} \right| = x_{1} - 1$

Vì $x_{1}$ là nghiệm của phương trình nên $x_{1}^{2} - 4x_{1} + 1 = 0$.

Suy ra $x_{1}^{2} = 4x_{1} - 1$

Thay $\sqrt{x_{1}^{2} + 2x_{2} - 7} = x_{1} - 1$ và $x_{1}^{2} = 4x_{1} - 1$ vào biểu thức $P$, ta được:

$P = (x_{2} + 3)(x_{1} - 1) - (4x_{1} - 1)$

$P = (x_{1}x_{2} - x_{2} + 3x_{1} - 3) - 4x_{1} + 1$

$P = x_{1}x_{2} - x_{1} - x_{2} - 2$

$P = x_{1}x_{2} - (x_{1} + x_{2}) - 2$

$P = 1 - 4 - 2 = - 5$

Vậy giá trị của biểu thức là $P = - 5$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link