Một công ty cần vận chuyển hàng từ kho hàng $A$ đến trung tâm phân phối $D.$ Trên bản đồ, hai

Câu hỏi số 979034:

Vận dụng

Một công ty cần vận chuyển hàng từ kho hàng $A$ đến trung tâm phân phối $D.$ Trên bản đồ, hai điểm $A$ và $D$ nằm cùng phía đối với tuyến đường thẳng $HK.$ Biết khoảng cách từ kho hàng $A$ đến tuyến đường $HK$ là $4\text{~km}$, khoảng cách từ trung tâm phân phối $D$ đến tuyến đường $HK$ là $3\text{~km}$, độ dài $HK$ bằng $20\text{~km}$. Công ty dự định xây dựng lộ trình cho xe vận chuyển đi theo đường gấp khúc $ABCD$, trong đó $B,\ C$ thuộc đoạn $HK$ (như hình vẽ).

Tốc độ trung bình của xe trên các đoạn $AB,\ BC,\ CD$ lần lượt là $30\text{~km/h}$, $50\text{~km/h}$ và $40\text{~km/h}$. Hãy xác định vị trí các điểm $B,\ C$ trên đoạn $HK$ sao cho thời gian di chuyển từ $A$ đến $D$ là nhỏ nhất

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979034

Phương pháp giải

Gọi độ dài các đoạn thẳng trên HK là các ẩn số. Lập hàm số biểu diễn tổng thời gian di chuyển và áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để tìm giá trị nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Đặt $HB = x\text{~(km)}$ với ; $KC = y\text{~(km)}$ với $y \geq 0$.

Vì tổng độ dài $HK = 20\text{~km}$ nên $BC = 20 - x - y$ (điều kiện $x + y \leq 20$).

Áp dụng định lý Pythagore cho hai tam giác vuông $\Delta AHB$ (vuông tại $H$) và $\Delta DKC$ (vuông tại $K$), ta có:

$AB = \sqrt{AH^{2} + HB^{2}} = \sqrt{4^{2} + x^{2}} = \sqrt{x^{2} + 16}$

$CD = \sqrt{DK^{2} + KC^{2}} = \sqrt{3^{2} + y^{2}} = \sqrt{y^{2} + 9}$

Vì tốc độ trung bình của xe trên các đoạn $AB,\ BC,\ CD$ lần lượt là $30\text{~km/h}$, $50\text{~km/h}$ và $40\text{~km/h}$ nên thời gian của xe trên các đoạn $AB,\ BC,\ CD$ lần lượt là $\dfrac{\sqrt{x^{2} + 16}}{30}$, $\dfrac{20 - x - y}{50}$, $\dfrac{\sqrt{y^{2} + 9}}{40}$ (giờ).

Khi đó ta có biểu thức tổng thời gian di chuyển của xe là:

$T = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 16}}{30} + \dfrac{20 - x - y}{50} + \dfrac{\sqrt{y^{2} + 9}}{40}$

$T = \left( {\dfrac{\sqrt{x^{2} + 16}}{30} - \dfrac{x}{50}} \right) + \left( {\dfrac{\sqrt{y^{2} + 9}}{40} - \dfrac{y}{50}} \right) + \dfrac{20}{50}$

Đặt $M = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 16}}{30} - \dfrac{x}{50}$; $N = \dfrac{\sqrt{y^{2} + 9}}{40} - \dfrac{y}{50}$.

Để T nhỏ nhất thì M, N nhỏ nhất:

+) Ta có: $M = \dfrac{\sqrt{x^{2} + 16}}{30} - \dfrac{x}{50}$

$\dfrac{150M}{150} = \dfrac{5\sqrt{x^{2} + 16}}{150} - \dfrac{3x}{150}$

$150M = 5\sqrt{x^{2} + 16} - 3x$

Xét bất đẳng thức: $5\sqrt{x^{2} + 16} \geq 3x + 16$

Vì cả hai vế đều dương (do $x \geq 0$), ta bình phương hai vế:

$25(x^{2} + 16) \geq {(3x + 16)}^{2}$

$25x^{2} + 400 \geq 9x^{2} + 96x + 256$

$16x^{2} - 96x + 144 \geq 0$

$x^{2} - 6x + 9 \geq 0$ hay ${(x - 3)}^{2} \geq 0$ (luôn đúng với mọi $x$)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$x - 3 = 0$

$x = 3\text{~(km)}$ (Thỏa mãn)

Giá trị nhỏ nhất của $M$ đạt được khi $HB = 3\text{~km}$.

+) Ta có: $N = \dfrac{\sqrt{y^{2} + 9}}{40} - \dfrac{y}{50}$

$\dfrac{200N}{200} = \dfrac{5\sqrt{y^{2} + 9}}{200} - \dfrac{4y}{200}$

$200N = 5\sqrt{y^{2} + 9} - 4y$

Xét bất đẳng thức: $5\sqrt{y^{2} + 9} \geq 4y + 9$

Vì cả hai vế đều dương (do $y \geq 0$), ta bình phương hai vế:

$25(y^{2} + 9) \geq {(4y + 9)}^{2}$

$25y^{2} + 225 \geq 16y^{2} + 72y + 81$

$9y^{2} - 72y + 144 \geq 0$

$y^{2} - 8y + 16 \geq 0$ hay ${(y - 4)}^{2} \geq 0$ (luôn đúng với mọi $y$)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:

$y - 4 = 0$

$y = 4\text{~(km)}$ (Thỏa mãn)

Giá trị nhỏ nhất của $N$ đạt được khi $KC = 4\text{~km}$.

Vậy để thời gian di chuyển từ kho $A$ đến trung tâm phân phối $D$ là ngắn nhất thì điểm $B$, $C$ nằm trên đoạn $HK$ sao cho $HB = 3\text{~km}$; $KC = 4\text{~km}$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link