Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A và B là
Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A và B là các tiếp điểm). Vẽ đường kính BC của đường tròn (O), đường thẳng MC cắt đường tròn (O) tại điểm D khác C. Gọi H là giao điểm của AB và MO.
a) Chứng minh AC // MO.
b) Chứng minh tứ giác MDHB nội tiếp và $\left. \Delta MDH \right.\sim\Delta MOC$.
c) Đường thẳng qua C song song với DH cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh A là trung điểm của EH.
Quảng cáo
Sử dụng tính chất tiếp tuyến, dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp, tam giác đồng dạng và các góc tạo bởi cát tuyến, tiếp tuyến để chứng minh.
a) Ta có $MA = MB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
Lại có $OA = OB$ (bán kính của đường tròn $(O)$).
Suy ra MO là đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Do đó $MO\bot AB$ tại H.
Xét đường tròn $(O)$ có BC là đường kính nên $\angle BAC = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Suy ra $AC\bot AB$.
Vì $AC\bot AB$ và $MO\bot AB$ nên $AC \parallel MO$.
b) +) Tứ giác MDHB nội tiếp:
Ta có $\angle BDC = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
Vì M, D, C thẳng hàng nên $\angle BDM + \angle BDC = 180^{{^\circ}}$ (hai góc kề bù).
Suy ra $\angle BDM = 180^{{^\circ}} - 90^{{^\circ}} = 90^{{^\circ}}$.
Có $MO\bot AB$ tại H, hay $\angle BHM = 90^{{^\circ}}$.
Tứ giác MDHB có $\angle BDM = \angle BHM = 90^{{^\circ}}$
Vậy tứ giác MDHB nội tiếp đường tròn đường kính BM.
+) $\left. \Delta MDH \right.\sim\Delta MOC$:
Xét đường tròn $(O)$ có $\angle MBD = \angle MCB$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BD.
Xét $\Delta MDB$ và $\Delta MBC$ có:
$\angle BMC$ chung;
$\angle MBD = \angle MCB$ (chứng minh trên).
Suy ra $\left. \Delta MDB \right.\sim\Delta MBC$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{MD}{MB} = \dfrac{MB}{MC}\Rightarrow MB^{2} = MD \cdot MC \right.$.
Xét $\Delta MBO$ vuông tại $B$ có đường cao BH, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có $MB^{2} = MH \cdot MO$.
Từ đó suy ra $\left. MD \cdot MC = MH \cdot MO\Rightarrow\dfrac{MH}{MC} = \dfrac{MD}{MO} \right.$.
Xét $\Delta MDH$ và $\Delta MOC$ có:
$\angle OMC$ chung;
$\dfrac{MH}{MC} = \dfrac{MD}{MO}$
Suy ra $\left. \Delta MDH \right.\sim\Delta MOC$ (c.g.c).
c) Gọi I là giao điểm của CE và MO.
Vì $CE \parallel DH$, áp dụng định lí Ta-lét cho tam giác MCI ta có $\dfrac{MH}{MI} = \dfrac{MD}{MC}$.
Kết hợp với các hệ thức $MB^{2} = MD \cdot MC$ và $MB^{2} = MH \cdot MO$ ta có:
$\left. \dfrac{MH}{MI} = \dfrac{MD \cdot MC}{MC^{2}} = \dfrac{MB^{2}}{MC^{2}} = \dfrac{MH \cdot MO}{MC^{2}}\Rightarrow MI = \dfrac{MC^{2}}{MO} \right.$.
Trong tam giác MBC vuông tại B, ta có
$MC^{2} = MB^{2} + BC^{2} = MH \cdot MO + {(2 \cdot OB)}^{2}$.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông MBO có đường cao BH:
$OB^{2} = OH \cdot MO$.
Khi đó $MC^{2} = MH \cdot MO + 4 \cdot OH \cdot MO = MO(MH + 4 \cdot OH)$.
Thay vào biểu thức tính MI ta được:
$MI = \dfrac{MO(MH + 4 \cdot OH)}{MO} = MH + 4 \cdot OH$.
Suy ra $HI = MI - MH = 4 \cdot OH$.
Xét $\Delta ABC$ có O là trung điểm của BC và $OH \parallel AC$ (do $MO \parallel AC$) nên OH là đường trung bình của $\Delta ABC$.
Do đó H là trung điểm của AB và $\left. OH = \dfrac{1}{2}AC\Rightarrow AC = 2 \cdot OH \right.$.
Vì $AC \parallel MO$ hay $AC \parallel HI$, áp dụng hệ quả định lí Ta-lét cho tam giác EAC ta có $\dfrac{EH}{EA} = \dfrac{HI}{AC} = \dfrac{4 \cdot OH}{2 \cdot OH} = 2$.
Suy ra $EH = 2 \cdot EA$.
Mà điểm A nằm giữa E và H nên $EH = EA + AH$.
Từ đó ta có $\left. 2 \cdot EA = EA + AH\Rightarrow EA = AH \right.$.
Vậy A là trung điểm của EH.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
