Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) với OA = 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn

Câu hỏi số 979180:

Vận dụng

Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) với OA = 2R, vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B, C là hai tiếp điểm). Vẽ đường kính BD của đường tròn (O), tia AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai là E. Gọi K là giao điểm của hai đường thẳng OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC và bốn điểm A, B, K, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $AK \cdot AO = AE \cdot AD$.

c) Vẽ CH vuông góc với BD tại H. Gọi M là giao điểm của CH và AD; I là giao điểm của BD và AC; tia IM cắt AB tại N. Tính diện tích của tứ giác ANOC theo R.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979180

Phương pháp giải

a) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau và góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh góc vuông, từ đó chứng minh tứ giác nội tiếp.

b) Sử dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông để suy ra tích các đoạn thẳng bằng nhau thông qua một đại lượng trung gian.

c) Áp dụng định lí Thales, tính chất trung điểm, tam giác đồng dạng và định lí Pythagore để tìm độ dài các đoạn thẳng, sau đó chia đa giác thành các tam giác nhỏ để tính diện tích.

Giải chi tiết

a) Xét đường tròn (O), ta có AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: AB = AC.

Mặt khác, OB = OC = R (bán kính đường tròn).

Suy ra O và A cùng nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Vậy OA vuông góc với BC tại K.

Ta có BD là đường kính của đường tròn (O), E thuộc (O) nên $\angle BED = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra $BE\bot AD$, do đó $\angle BEA = 90^{{^\circ}}$.

Vì $OA\bot BC$ tại $K$ (chứng minh trên) nên $\angle BKA = 90^{{^\circ}}$.

Khi đó $\Delta BKA$ vuông tại K nên B, K, A cùng thuộc đường tròn đường kính BA

Tương tự $\Delta BEA$ vuông tại E nên B, E, A cùng thuộc đường tròn đường kính BA

Vậy bốn điểm A, B, K, E cùng thuộc một đường tròn (đường tròn đường kính AB).

b) Xét $\Delta ABK$ và $\Delta AOB$ có

$\angle AKB = \angle ABO = 90{^\circ}$

$\angle BAO$ chung

Suy ra $\left. \Delta ABK \right.\sim\Delta AOB\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AB}{AO} = \dfrac{AK}{AB}$ hay $AB^{2} = AK.AO$ (1)

Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ADB$ có:

$\angle BAD$ chung.

$\angle AEB = \angle ABD = 90^{{^\circ}}$

Suy ra $\left. \Delta ABE \right.\sim\Delta ADB$ (g.g) nên $\dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AE}{AB}$ hay $AB^{2} = AE.AD$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $AK.AO = AE.AD$

c) Ta có $\angle CDB = \dfrac{1}{2}\angle COB$ (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung nhỏ BC)

Mà $\angle BOA = \dfrac{1}{2}\angle COB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra $\angle CDB = \angle BOA$ hay $\angle CDH = \angle BOA$

Xét $\Delta CHD$ và $\Delta ABO$ có $\angle CDH = \angle BOA$ và $\angle CHD = \angle ABO = 90{^\circ}$

Suy ra $\left. \Delta CHD \right.\sim\Delta ABO\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{CH}{AB} = \dfrac{HD}{BO}$

Lại có $CH \parallel AB$ (cùng vuông góc BD) nên $\dfrac{HM}{AB} = \dfrac{HD}{BD} = \dfrac{HD}{2BO}$ (Định lý Thales)

Suy ra $\dfrac{CH}{AB} = \dfrac{2HM}{AB}$ nên $CH = 2HM$ hay M là trung điểm của CH

Khi đó $\dfrac{HM}{BN} = \dfrac{IM}{IN}$ (Do $HM \parallel BN$) và $\dfrac{IM}{IN} = \dfrac{CM}{AN}$ (do $CM \parallel AN$)

Suy ra $\dfrac{HM}{BN} = \dfrac{CM}{AN}$. Mà $HM = CM$ nên $BN = AN$ hay N là trung điểm của AB.

Tứ giác ANOC được tạo bởi 2 tam giác ANO và ACO.

Ta có: $S_{ANOC} = S_{\Delta ANO} + S_{\Delta ACO}$.

Tính $S_{\Delta ACO}$:

Tam giác ABO vuông tại B, OA = 2R, OB = R.

Theo định lí Pytago: $AB = \sqrt{OA^{2} - OB^{2}} = \sqrt{4R^{2} - R^{2}} = R\sqrt{3}$.

Vì $AC = AB$ nên $AC = R\sqrt{3}$.

$\Delta ACO$ vuông tại C nên $S_{\Delta ACO} = \dfrac{1}{2} \cdot AC \cdot OC = \dfrac{1}{2} \cdot R\sqrt{3} \cdot R = \dfrac{R^{2}\sqrt{3}}{2}$

Tính $S_{\Delta ANO}$:

N là trung điểm AB nên $AN = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.

Đường cao hạ từ O xuống cạnh AN chính là đoạn OB = R (vì $OB\bot AB$).

$S_{\Delta ANO} = \dfrac{1}{2} \cdot AN \cdot OB = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{R\sqrt{3}}{2} \cdot R = \dfrac{R^{2}\sqrt{3}}{4}$

Tổng diện tích: $S_{ANOC} = \dfrac{R^{2}\sqrt{3}}{4} + \dfrac{R^{2}\sqrt{3}}{2} = \dfrac{3R^{2}\sqrt{3}}{4}$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link