1. Cho biểu thức $M = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2}{x - 1}$ với $x \geq

Câu hỏi số 979212:

Nhận biết

1. Cho biểu thức $M = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2}{x - 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$.

a) Rút gọn biểu thức $M$.

b) Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $M < \dfrac{1}{2}$.

2. Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2} - 3x - 6 = 0$. Không giải phương trình, hãy tìm số nguyên $k$ nhỏ nhất thỏa mãn $2x_{1}^{2} - x_{1}x_{2}^{2} + 7k \geq 0$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979212

Phương pháp giải

Quy đồng mẫu thức để rút gọn biểu thức chứa căn, giải bất phương trình và sử dụng định lý Vieta cho phương trình bậc hai.

Giải chi tiết

a) Rút gọn biểu thức M:

Với $x \geq 0,x \neq 1$, ta có:

$M = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

$M = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) + 2(\sqrt{x} + 1) - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

$M = \dfrac{x - \sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 2 - 2}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

$M = \dfrac{x + \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

$M = \dfrac{\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 1)}$

$M = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

Vậy $M = \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$.

b) Để $M < \dfrac{1}{2}$ thì $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} < \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{1}{2} < 0$

$\dfrac{2\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1)}{2(\sqrt{x} - 1)} < 0$

$\dfrac{\sqrt{x} + 1}{2(\sqrt{x} - 1)} < 0$

Vì $x \geq 0$ nên $\sqrt{x} \geq 0$, suy ra $\sqrt{x} + 1 > 0$ với mọi $x \geq 0$.

Do đó để $\dfrac{\sqrt{x} + 1}{2(\sqrt{x} - 1)} < 0$ thì:

$2(\sqrt{x} - 1) < 0$

$\sqrt{x} - 1 < 0$

$\sqrt{x} < 1$

$x < 1$

Kết hợp với điều kiện $x \geq 0,x \neq 1$, ta được $0 \leq x < 1$.

Vậy các giá trị của $x$ cần tìm là $0 \leq x < 1$.

2. Phương trình $x^{2} - 3x - 6 = 0$ có $a = 1,c = - 6$.

Vì $ac = 1 \cdot ( - 6) = - 6 < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Theo hệ thức Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = \dfrac{- b}{a} = 3} \\ {x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a} = - 6} \end{array} \right.$

Xét bất đẳng thức: $2x_{1}^{2} - x_{1}x_{2}^{2} + 7k \geq 0$

Vì $x_{1}$ là nghiệm nên $x_{1}^{2} = 3x_{1} + 6$. Thay vào $2x_{1}^{2} - x_{1}x_{2}^{2}$:

$2x_{1}^{2} - x_{1}x_{2}^{2} = 2(3x_{1} + 6) - x_{1}x_{2}^{2} = 6x_{1} + 12 - x_{1}x_{2}^{2} = x_{1}(6 - x_{2}^{2}) + 12$

Vì $x_{2}$ là nghiệm nên $x_{2}^{2} = 3x_{2} + 6$. Thay vào $x_{1}(6 - x_{2}^{2}) + 12$:

$x_{1}(6 - (3x_{2} + 6)) + 12 = x_{1}( - 3x_{2}) + 12 = - 3(x_{1}x_{2}) + 12$

Theo hệ thức Vi-ét: $x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a} = - 6$. Vậy:

$- 3( - 6) + 12 = 18 + 12 = 30$

Thay giá trị vừa tính được vào bất phương trình ban đầu:

$30 + 7k \geq 0$

$k \geq - \dfrac{30}{7} \approx - 4,28$

Số nguyên $k$ nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này là $k = - 4$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link