Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O; R)

Câu hỏi số 979215:

Vận dụng

Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến MA và MB với đường tròn (O; R) (A, B là các tiếp điểm).

1. Chứng minh tứ giác AOBM nội tiếp.

2. Kẻ đường kính AC của đường tròn (O; R), kẻ BH vuông góc với AC tại H. Gọi K là giao điểm của MC và BH, D là giao điểm của hai đường thẳng BC và AM. Chứng minh tam giác MBD cân tại M và K là trung điểm của BH.

3. Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB. Tính độ dài đoạn thẳng BH theo r và R.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979215

Phương pháp giải

Vận dụng tính chất tiếp tuyến, đường trung bình tam giác, hệ quả định lý Thales và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Giải chi tiết

1. Vì MA, MB là tiếp tuyến của $(O)$ nên $\angle OAM = \angle OBM = 90^{{^\circ}}$

Khi đó $\Delta OAM$ vuông tại A nên O, A, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Tương tự $\Delta OMB$ vuông tại B nên O, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

Vậy O, A, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay OAMB nội tiếp đường tròn.

+) Chứng minh tam giác MBD cân tại M:

Vì AC là đường kính nên $\angle ABC = 90^{{^\circ}}$ $\left. \Rightarrow AB\bot BC \right.$

Lại có $MA = MB$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) và $OA = OB = R$

$\left. \Rightarrow OM \right.$ là trung trực của AB hay $OM\bot AB$

$\left. \Rightarrow OM \parallel BC \right.$ hay $OM \parallel BD$

Khi đó $\angle BDM = \angle OMA$ (2 góc đồng vị) và $\angle DBM = \angle BMO$ (2 góc so le trong)

Mà $\angle OMA = \angle BMO$ (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\left. \Rightarrow\angle BDM = \angle DBM \right.$

$\left. \Rightarrow\Delta MBD \right.$ cân tại M.

+) Chứng minh K là trung điểm BH:

Ta có $BH\bot AC$ và $AM\bot AC$ nên $BH \parallel AM$

Khi đó $\dfrac{HK}{AM} = \dfrac{CK}{CM}$ (định lý Thales)

Tương tự $BK \parallel MD$ nên $\dfrac{BK}{MD} = \dfrac{CK}{CM}$ $\left. \Rightarrow\dfrac{HK}{AM} = \dfrac{BK}{MD} \right.$

Mà $MD = MA = MB$ nên $HK = BK$

Vậy $K$ là trung điểm của BH.

3. Gọi I là giao điểm của đoạn thẳng OM với $(O)$

J là giao điểm của OM và AB

Ta có $\Delta OAI$ cân tại $O$ nên $\angle OAI = \angle OIA = \dfrac{180^{{^\circ}} - \angle AOI}{2}$

$\left. \Rightarrow\angle OAI = 90^{{^\circ}} - \dfrac{\angle IOA}{2} = 90^{{^\circ}} - \angle IBA \right.$ $\left. \Rightarrow\angle IAM = 90^{{^\circ}} - \angle OAI = 90^{{^\circ}} - (90^{{^\circ}} - \angle IBA) = \angle IBA \right.$

Mà $\angle IBA = \angle IAB$ ($\Delta IAB$ cân tại I; I thuộc trung trực của AB)

$\left. \Rightarrow\angle IAB = \angle IAM \right.$ hay IA là phân giác của $\angle BAM$

Mà MJ là phân giác của $\angle BMA$ $\left. \Rightarrow I \right.$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta MAB$

Lại có $\left. IJ\bot AB\Rightarrow IJ \right.$ là bán kính của đường tròn nội tiếp $\Delta MAB$

$\left. \Rightarrow IJ = r \right.$

Ta có $\left. IJ = r\Rightarrow OJ = OI - IJ = R - r \right.$

$\left. \Rightarrow BJ^{2} = OB^{2} - OJ^{2} = R^{2} - {(R - r)}^{2} = - r^{2} + 2Rr \right.$

$\left. \Rightarrow BJ = \sqrt{2Rr - r^{2}}\Rightarrow AB = 2\sqrt{2Rr - r^{2}} \right.$

Ta có O là trung điểm AC; J là trung điểm AB

$\left. \Rightarrow OJ \right.$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\left. \Rightarrow OJ = \dfrac{1}{2}BC\Rightarrow BC = 2OJ = 2(R - r) \right.$

Xét $\Delta ABC$ có $S_{\Delta ABC} = \dfrac{1}{2}BH \cdot AC = \dfrac{1}{2}AB \cdot BC$

$\left. \Rightarrow BH \cdot AC = AB \cdot BC\Rightarrow \right.$

$\left. \Rightarrow BH = \dfrac{AB \cdot BC}{AC} = \dfrac{2\sqrt{2Rr - r^{2}} \cdot 2(R - r)}{2R} \right.$ $= \dfrac{2(R - r)\sqrt{2Rr - r^{2}}}{R}$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link