Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {0;0; - 3} \right),$ $B\left( {2;0; - 1} \right)$

Câu hỏi số 979360:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {0;0; - 3} \right),$ $B\left( {2;0; - 1} \right)$ và mặt phẳng $(P):\ 3x - 8y + 7z - 1 = 0.$ Gọi $C\left( {a;b;c} \right)$ $\left( {a > 0} \right)$ là điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ sao cho tam giác $ABC$ đều. Độ dài đoạn thẳng $OC$ là

A. $\dfrac{\sqrt{17}}{3}.$

B. $1.$

C. $\sqrt{17}.$

D. $\dfrac{1}{3}.$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979360

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính độ dài đoạn thẳng, cho ba cạnh của tam giác bằng nhau và giải hệ phương trình để tìm ra các tọa độ.

Lưu ý hoành độ điểm C phải nhận giá trị dương.

Giải chi tiết

Ta có:

$\left. \left\{ \begin{matrix} {CA^{2} = CB^{2}} \\ {CA^{2} = AB^{2}} \\ {C \in (P)\ \ \ \ \ } \end{matrix} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {a^{2} + b^{2} + \left( {c + 3} \right)^{2} = \left( {a - 2} \right)^{2} + b^{2} + \left( {c + 1} \right)^{2}} \\ {a^{2} + b^{2} + \left( {c + 3} \right)^{2} = 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {3a - 8b + 7c - 1 = 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \end{matrix} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {4a + 4c = - 4\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {a^{2} + b^{2} + \left( {c + 3} \right)^{2} = 8} \\ {3a - 8b + 7c - 1 = 0\ } \end{matrix} \right.\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {c = - 1 - a\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {a^{2} + b^{2} + \left( {c + 3} \right)^{2} = 8\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {3a - 8b + 7\left( {- 1 - a} \right) - 1 = 0\ } \end{matrix} \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {c = 2b + 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \\ {a^{2} + b^{2} + \left( {c + 3} \right)^{2} = 8} \\ {a = - 2b - 2\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \end{matrix} \right. \right.$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\left( {- 2b - 2} \right)^{2} + b^{2} + \left( {2b + 1 + 3} \right)^{2} = 8 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 9b^{2} + 24b + 12 = 0 \right. \end{array}$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} \left. b = - 2\Rightarrow C\ \left( {2;\ - 2;\ - 3} \right)\ \left( {TM} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right. \\ \left. b = - \dfrac{2}{3}\Rightarrow C\ \left( {- \dfrac{2}{3};\ - \dfrac{2}{3};\ - \dfrac{1}{3}} \right)\ \left( {KTM} \right) \right. \end{array} \right. \right. \\ \left. \Rightarrow OC = \sqrt{2^{2} + \left( {- 2} \right)^{2} + \left( {- 3} \right)^{2}} = \sqrt{17}. \right. \end{array}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.