Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {3;5; - 2} \right),\ B\left( {- 1;3;2} \right)$ và mặt phẳng
Trong không gian $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {3;5; - 2} \right),\ B\left( {- 1;3;2} \right)$ và mặt phẳng $(P):\ 2x + y - 2z + 9 = 0.$ Mặt cầu $(S)$ đi qua hai điểm $A,\ B$ và tiếp xúc với $(P)$ tại điểm $C.$ Gọi $M,\ m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng $OC,$ khi đó $M^{2} + m^{2}$ bằng
Đáp án đúng là: 76
Quảng cáo
Gọi $D$ là giao điểm của $AB$ và $(P).$
Sử dụng công thức phương tích của một điểm với đường trình $DC^{2} = DA \cdot DB$ để tìm được độ dài của DC.
Từ đó suy ra tập hợp các điểm $C$ là đường tròn với bán kính DC.
Gọi $C'$ và ${C'}'$ là các điểm thỏa mãn độ dài đoạn thẳng $OC$ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất theo thứ tự. Khi đó ${C'}',\ D,\ C'$ thẳng hàng.
Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác $OD^{2} = \dfrac{2O{C'}^{2} + 2O{C^{''}}^{2} - C'{C^{''}}^{2}}{4}$ để tìm ra giá trị đề bài yêu cầu.
Ta có $AB:\ \left\{ {\begin{matrix} {x = 3 - 2t\ \ } \\ {y = 5 - t\ \ \ \ } \\ {z = - 2 + 2t} \end{matrix}.} \right.$ Gọi $D$ là giao điểm của $AB$ và $(P).$
Khi đó $\left. 2\left( {3 - 2t} \right) + \left( {5 - t} \right) - 2\left( {- 2 + 2t} \right) + 9 = 0\Leftrightarrow t = \dfrac{8}{3}\Rightarrow D\ \left( {- \dfrac{7}{3};\ \dfrac{7}{3};\ \dfrac{10}{3}} \right). \right.$
Ta có $\left. DC^{2} = DA \cdot DB = 8 \cdot 2 = 16\Rightarrow DC = 4. \right.$
Vậy tập hợp các điểm $C$ là đường tròn nằm trong $(P),$ tâm $D,$ bán kính bằng $4.$
Gọi $C'$ và ${C'}'$ là các điểm thỏa mãn độ dài đoạn thẳng $OC$ đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất theo thứ tự. Khi đó, ta có: $OC' = M,\ O{C'}' = m$ và ${C'}',\ D,\ C'$ thẳng hàng.
Vì $O$ không thẳng hàng với $C',\ {C'}'$ nên ba điểm $O,\ C',\ {C'}'$tạo thành một tam giác trong không gian $\left( {\Delta OC'{C'}'} \right).$
Trong tam giác này, ta có $C'C^{''} = 2R = 2 \cdot 4 = 8.$
$D$ là trung điểm cạnh đáy $C'{C'}'$ nên $OD$ là đường trung tuyến.
Áp dụng định lý đường trung tuyến trong tam giác $OD^{2} = \dfrac{2O{C'}^{2} + 2O{C^{''}}^{2} - C'{C^{''}}^{2}}{4}$
Ta có $OD = \sqrt{\left( {- \dfrac{7}{3}} \right)^{2} + \left( \dfrac{7}{3} \right)^{2} + \left( \dfrac{10}{3} \right)^{3}} = \sqrt{22}.$
Lại có $\left. C'C^{''} = 4\Rightarrow C'{C^{''}}^{2} = 64. \right.$
Từ đó ta có $\left. 22 = \dfrac{2M^{2} + 2m^{2} - 64}{4}\Rightarrow 2M^{2} + 2m^{2} = 152\Rightarrow M^{2} + m^{2} = 76. \right.$
Đáp án cần điền là: 76
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
