Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x + 1)^2(x^2 - 2x)$ với mọi $x \in

Câu hỏi số 979373:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x + 1)^2(x^2 - 2x)$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Số điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(\vert{}x^2 - 4\vert{})$ là

A. 5

B. 7

C. 9

D. 3

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:979373

Phương pháp giải

Tìm các điểm cực trị đơn (hoặc nghiệm bội lẻ) của $f(x)$ từ phương trình $f'(x) = 0$.

Đặt $h(x) = f(x^2 - 4)$. Tính đạo hàm $h'(x)$, lập phương trình $h'(x) = 0$ để xác định các điểm cực trị của $h(x)$.

Sử dụng tính chất hàm số chẵn $g(x) = f(\vert{}x^2 - 4\vert{}) = h(\vert{}x\vert{})$ để suy ra số điểm cực trị của $g(x)$ dựa trên số điểm cực trị dương của $h(x)$.

Giải chi tiết

Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)^2(x^2 - 2x) = 0 \Leftrightarrow (x + 1)^2 x (x - 2) = 0$.

Phương trình có các nghiệm $x = -1$ (nghiệm bội 2, không phải điểm cực trị), $x = 0$ và $x = 2$ (đều là các nghiệm đơn, là các điểm cực trị).

Xét hàm số $h(x) = f(x^2 - 4)$.

Đạo hàm: $h'(x) = 2x \cdot f'(x^2 - 4)$.

Cho $h'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &x = 0 \\ &f'(x^2 - 4) = 0 \end{aligned}\right.$

Xét $f'(x^2 - 4) = 0$: Vì chỉ quan tâm đến các điểm cực trị (nghiệm đổi dấu), ta chỉ xét các nghiệm đơn của $f'(t) = 0$ là $t = 0$ và $t = 2$: $x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$. $x^2 - 4 = 2 \Leftrightarrow x^2 = 6 \Leftrightarrow x = \pm\sqrt{6}$.

Tất cả các nghiệm $x \in \{-\sqrt{6}, -2, 0, 2, \sqrt{6}\}$ của $h'(x) = 0$ đều là nghiệm đơn.

Do đó, hàm số $h(x)$ có 5 điểm cực trị. Các điểm cực trị dương của $h(x)$ là $x = 2$ và $x = \sqrt{6}$ (có 2 điểm cực trị dương).

Vì $g(x) = f(\vert{}x^2 - 4\vert{}) = h(\vert{}x\vert{})$ là hàm số chẵn, số điểm cực trị của $g(x)$ được tính bằng $2k + 1$, trong đó $k$ là số điểm cực trị dương của $h(x)$:

Số điểm cực trị của $g(x)$ là $2 \cdot 3 + 1 = 7$ (bao gồm $x = 0$, $\pm 2$, $\pm\sqrt{6}$ và hai điểm làm cho $x^2 - 4 = 0$ không có đạo hàm là $x = \pm 2$).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.