Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \left( {x + 1} \right)^{2}\left( {x^{2} - 2x} \right)\ \forall\ x \in
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = \left( {x + 1} \right)^{2}\left( {x^{2} - 2x} \right)\ \forall\ x \in {\mathbb{R}}.$ Số giá trị nguyên của tham số $m$ thỏa mãn rằng $y = f\left( {\left| {x^{3} - 3x} \right| + m} \right)$ có đúng $7$ điểm cực trị là
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Tìm cực trị của hàm số có tham số. Lưu ý xét bài toán cực trị của hàm số$y = \left| {k(x)} \right|:$ $y = \left| {k(x)} \right|$ đạt cực trị tại những điểm thỏa mãn $k'(x) = 0$ (nghiệm đơn của đạo hàm của hàm trong dấu giá trị tuyệt đối) và $k(x) = 0$ (nghiệm đơn của hàm trong dấu giá trị tuyệt đối) sao cho các nghiệm này không trùng nhau (nếu trùng thì chỉ tính 1 lần là cực trị).
Ta có $\left. f'(x) = \left( {x + 1} \right)^{2}\left( {x^{2} - 2x} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack {\begin{matrix} {x = 0} \\ {x = 2} \\ {x = - 1} \end{matrix}.} \right. \right.$
Ta không lấy nghiệm $x = - 1$ vì đây là nghiệm kép.
Xét hàm số $g(x) = \left| {x^{3} - 3x} \right| + m$ và hàm số $h(x) = x^{3} - 3x:$
Ta có $\left. h'(x) = 0\Leftrightarrow 3x^{2} - 3 = 0\Rightarrow x = \pm 1. \right.$
Khi đó, $g(x) = \left| {x^{3} - 3x} \right| + m$ đạt cực trị tại những điểm thỏa mãn $h'(x) = 0\ (1)$ (nghiệm đơn) và $h(x) = 0\ \left( {(2),\ (3)} \right)$ (nghiệm đơn)
$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{matrix} {3x^{2} - 3 = 0} \\ {x^{3} - 3x = 0} \\ {x^{3} - 3x = 2} \end{matrix} \right.\ \begin{matrix} (1) \\ (2) \\ (3) \end{matrix}\Rightarrow x \in \left\{ {0;\ \pm 1;\ \pm \sqrt{3};\ 2} \right\}. \right.$
Hàm số $y = f\left( {\left| {x^{3} - 3x} \right| + m} \right) = f\left( {g(x)} \right)$ có $7$ cực trị nếu $f\left( {g(x)} \right)$ có thêm hai cực trị, tức là hai phương trình $\left| {x^{3} - 3x} \right| + m = 0$ và $\left| {x^{3} - 3x} \right| + m = 2$ có tổng cộng hai nghiệm phân biệt không trùng với các cực trị của $g(x).$
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} {\left| {x^{3} - 3x} \right| = - m\ \ \ } \\ {\left| {x^{3} - 3x} \right| = 2 - m} \end{matrix} \right.. \right.$
Vẽ đồ thị (hoặc lập bảng biến thiên), ta có:
$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{matrix} {0 = - m\ \ \ } \\ {2 = 2 - m} \end{matrix} \right.\Leftrightarrow m = 0. \right.$
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
