Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = 2x - x^{2}$ và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay
Cho hình $(H)$ giới hạn bởi đồ thị $y = 2x - x^{2}$ và trục hoành. Thể tích vật thể tròn xoay sinh ra khi cho $(H)$ quay quanh trục tung bằng
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Bước 1: Rút x theo y
Bước 2: Tìm cận theo y dựa vào đỉnh của parabol.
Bước 3: Sử dụng công thức thể tích của khối tròn xoay quanh trục tung bằng tích phân$V = \pi \int_a^b {{x^2}\left( y \right)} {\mkern 1mu} dy.$
Bước 1: Rút x theo y
Ta có phương trình: $y = 2x - x^{2}$$\left. \Leftrightarrow x^{2} - 2x + y = 0 \right.$
Xem đây là phương trình bậc 2 ẩn $x$, ta có
$\begin{array}{l} {x^{2} - 2x + y = 0} \\ \left. \Leftrightarrow x^{2} - 2x + 1 = 1 - y \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left( {x - 1} \right)^{2} = 1 - y \right. \\ \left. \Leftrightarrow x - 1 = \pm \sqrt{1 - y} \right. \\ \left. \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{1 - y} \right. \end{array}$
Như vậy ta hiểu rằng ta quay 2 đồ thị này quay quanh Oy và lấy phần thể tích nằm giữA.
Bước 2: Tìm cận theo y
Đỉnh của parabol $y = 2x - x^{2}$ là tại $\left. x = 1\Rightarrow y = 1 \right.$. Trục hoành là $y = 0$.
Vậy cận tích phân từ $0$ đến $1$.
Bước 3: Sử dụng công thức thể tích của khối tròn xoay quanh trục tung bằng tích phân$V = \pi \int_a^b {{x^2}\left( y \right)} {\mkern 1mu} dy.$
Thể tích là hiệu của vật thể tạo bởi 2 đồ thị:
$\begin{array}{l} V = \pi \int_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} {\mkern 1mu} dy - \pi \int_0^1 {{{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} {\mkern 1mu} dy\\ = \pi \int_0^1 {\left[ {{{\left( {1 + \sqrt {1 - y} } \right)}^2} - {{\left( {1 - \sqrt {1 - y} } \right)}^2}} \right]} {\mkern 1mu} dy\\ = \pi \int_0^1 {\left[ {\left( {1 + 2\sqrt {1 - y} + 1 - y} \right) - \left( {1 - 2\sqrt {1 - y} + 1 - y} \right)} \right]} {\mkern 1mu} dy\\ = \pi \int_0^1 {4\sqrt {1 - y} } {\mkern 1mu} dy\\ = 4\pi \int_0^1 {\sqrt {1 - y} } {\mkern 1mu} dy \end{array}$
Ta có $\int_0^1 {\sqrt {1 - y} } {\mkern 1mu} dy$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi bởi đường cong nằm ngang $x = \sqrt{1 - y},\ y = 0,\ y = 1,$ trục hoành.
Ở đây ta thấy $x = \sqrt{1 - y}$ là đường $\left. x^{2} = 1 - y\Leftrightarrow y = - x^{2} + 1. \right.$
Bên cạnh đó $y = 0$ khi $x = 1,$ $y = 1$ khi $x = 0.$
Suy ra $\int_0^1 {\sqrt {1 - y} } {\mkern 1mu} dy = \int_0^1 {\left( { - {x^2} + 1} \right)} {\mkern 1mu} dx = \left. {\left( { - \dfrac{{{x^3}}}{3} + x} \right)} \right|_0^1 = \dfrac{2}{3}.$
Vậy thể tích bằng $4\pi \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{8\pi}{3}.$
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
