Cho hình chữ nhật ABCD và số thực $k > 0$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left|

Câu hỏi số 982854:

Thông hiểu

Cho hình chữ nhật ABCD và số thực $k > 0$. Tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn đẳng thức $\left| {\overset{\rightarrow}{MA} + \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{MC} + \overset{\rightarrow}{MD}} \right| = k$ là

A. một đoạn thẳng.

B. một đường thẳng.

C. một đường tròn.

D. một điểm.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:982854

Phương pháp giải

Sử dụng quy tắc chèn điểm vào đẳng thức vectơ. Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật ABCD, ta có $\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC} + \overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Giải chi tiết

Gọi $O$ là tâm của hình chữ nhật ABCD.

Vì ABCD là hình chữ nhật cố định nên $O$ là điểm cố định.

Tính chất của tâm hình chữ nhật cho ta $O$ là trung điểm của hai đường chéo AC và BD, do đó:

$\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OC} = \overset{\rightarrow}{0}$ và $\overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Cộng vế theo vế ta được: $\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC} + \overset{\rightarrow}{OD} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Xét đẳng thức của đề bài, chèn điểm $O$ vào các vectơ ta có:

$\left| {\overset{\rightarrow}{MA} + \overset{\rightarrow}{MB} + \overset{\rightarrow}{MC} + \overset{\rightarrow}{MD}} \right| = k$

$\left. \Leftrightarrow\left| {(\overset{\rightarrow}{MO} + \overset{\rightarrow}{OA}) + (\overset{\rightarrow}{MO} + \overset{\rightarrow}{OB}) + (\overset{\rightarrow}{MO} + \overset{\rightarrow}{OC}) + (\overset{\rightarrow}{MO} + \overset{\rightarrow}{OD})} \right| = k \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left| {4\overset{\rightarrow}{MO} + (\overset{\rightarrow}{OA} + \overset{\rightarrow}{OB} + \overset{\rightarrow}{OC} + \overset{\rightarrow}{OD})} \right| = k \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left| {4\overset{\rightarrow}{MO} + \overset{\rightarrow}{0}} \right| = k \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4\left| \overset{\rightarrow}{MO} \right| = k \right.$

$\left. \Leftrightarrow 4MO = k \right.$

$\left. \Leftrightarrow MO = \dfrac{k}{4} \right.$

Do điểm $O$ cố định và biểu thức $\dfrac{k}{4}$ là một hằng số dương (vì $k > 0$), nên khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $O$ luôn bằng $\dfrac{k}{4}$.

Vậy tập hợp các điểm $M$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là một đường tròn tâm $O$, bán kính $R = \dfrac{k}{4}$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.