Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương: $mx^{2} -

Câu hỏi số 982856:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để cặp phương trình sau tương đương: $mx^{2} - 2(m - 1)x + m - 2 = 0$ (1) và $(m - 2)x^{2} - 3x + m^{2} - 15 = 0$ (2).

A. $m = - 5$.

B. $m = - 5;m = 4$.

C. $m = 4$.

D. $m = 5$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:982856

Phương pháp giải

Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng một tập nghiệm.

Ta nhận thấy phương trình (1) có tổng các hệ số bằng 0 nên luôn có một nghiệm cố định.

Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là nghiệm cố định của phương trình (1) cũng phải là nghiệm của phương trình (2).

Từ đó tìm được các giá trị của tham số m.

Sau đó, thay các giá trị m vừa tìm được vào hai phương trình ban đầu (điều kiện đủ) để kiểm tra xem tập nghiệm của chúng có hoàn toàn giống nhau hay không rồi mới kết luận.

Giải chi tiết

Xét phương trình (1): $mx^{2} - 2(m - 1)x + m - 2 = 0$.

Ta có tổng các hệ số: $a + b + c = m - 2(m - 1) + m - 2 = m - 2m + 2 + m - 2 = 0$.

Suy ra phương trình (1) luôn có một nghiệm là $x = 1$ với mọi giá trị của $m$.

Để hai phương trình (1) và (2) tương đương thì phương trình (2) cũng phải có nghiệm $x = 1$.

Thay $x = 1$ vào phương trình (2), ta được:

$(m - 2) \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1 + m^{2} - 15 = 0$

$\left. \Leftrightarrow m - 2 - 3 + m^{2} - 15 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow m^{2} + m - 20 = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = 4} \\ {m = - 5} \end{array} \right. \right.$

Thử lại:

Trường hợp $m = 4$:

Phương trình (1) trở thành: $\left. 4x^{2} - 6x + 2 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right. \right.$. (Tập nghiệm $S_{1} = \left\{ 1;\dfrac{1}{2} \right\}$)

Phương trình (2) trở thành: $\left. 2x^{2} - 3x + 1 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = \dfrac{1}{2}} \end{array} \right. \right.$. (Tập nghiệm $S_{2} = \left\{ 1;\dfrac{1}{2} \right\}$)

Nhận thấy $S_{1} = S_{2}$, vậy $m = 4$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trường hợp $m = - 5$:

Phương trình (1) trở thành: $\left. - 5x^{2} + 12x - 7 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = \dfrac{7}{5}} \end{array} \right. \right.$. (Tập nghiệm $S_{1} = \left\{ 1;\dfrac{7}{5} \right\}$)

Phương trình (2) trở thành: $\left. - 7x^{2} - 3x + 10 = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = - \dfrac{10}{7}} \end{array} \right. \right.$. (Tập nghiệm $S_{2} = \left\{ 1; - \dfrac{10}{7} \right\}$)

Nhận thấy $S_{1} \neq S_{2}$ nên hai phương trình không tương đương, vậy $m = - 5$ không thỏa mãn.

Kết luận: Giá trị thực của tham số $m$ thỏa mãn là $m = 4$.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.