Với $xyz = 1$ giá trị biểu thức $P = \dfrac{x + 2xy + 1}{x + xy + xz + 1} + \dfrac{y + 2yz + 1}{y + yz + yx +

Câu hỏi số 983573:

Vận dụng

Với $xyz = 1$ giá trị biểu thức $P = \dfrac{x + 2xy + 1}{x + xy + xz + 1} + \dfrac{y + 2yz + 1}{y + yz + yx + 1} + \dfrac{z + 2zx + 1}{z + zx + zy + 1}$ là

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:983573

Phương pháp giải

Sử dụng điều kiện $xyz = 1$ để phân tích mẫu thức từng phân thức:

$x + xy + xz + 1 = x + xy + xz + xyz = x(1 + y)(1 + z)$.

Sau đó chia cả tử và mẫu cho biến số tương ứng để quy đồng các phân thức về cùng mẫu thức chung $(1 + x)(1 + y)(1 + z)$ rồi tính tổng P.

Giải chi tiết

Vì $xyz = 1$ nên ta có:

$x + xy + xz + 1 = x + xy + xz + xyz = x(1 + y + z + yz) = x(1 + y)(1 + z)$.

Tương tự:

$y + yz + yx + 1 = y(1 + z)(1 + x)$.

$z + zx + zy + 1 = z(1 + x)(1 + y)$.

Mặt khác, từ $xyz = 1$ suy ra $\dfrac{1}{x} = yz$, do đó:

$\dfrac{x + 2xy + 1}{x + xy + xz + 1} = \dfrac{1 + 2y + \dfrac{1}{x}}{(1 + y)(1 + z)} = \dfrac{1 + 2y + yz}{(1 + y)(1 + z)}$.

Tương tự cho hai phân thức còn lại:

$\dfrac{y + 2yz + 1}{y + yz + yx + 1} = \dfrac{1 + 2z + zx}{(1 + z)(1 + x)}$.

$\dfrac{z + 2zx + 1}{z + zx + zy + 1} = \dfrac{1 + 2x + xy}{(1 + x)(1 + y)}$.

Thay vào biểu thức P:

$P = \dfrac{1 + 2y + yz}{(1 + y)(1 + z)} + \dfrac{1 + 2z + zx}{(1 + z)(1 + x)} + \dfrac{1 + 2x + xy}{(1 + x)(1 + y)}$

Quy đồng mẫu thức chung là $D = (1 + x)(1 + y)(1 + z)$, tử thức của P là:

$M = (1 + 2y + yz)(1 + x) + (1 + 2z + zx)(1 + y) + (1 + 2x + xy)(1 + z)$.

Khai triển từng tích (có $xyz = 1$):

$(1 + 2y + yz)(1 + x) = 1 + x + 2y + 2xy + yz + xyz = 2 + x + 2y + 2xy + yz$.

$(1 + 2z + zx)(1 + y) = 2 + y + 2z + 2yz + zx$.

$(1 + 2x + xy)(1 + z) = 2 + z + 2x + 2zx + xy$.

Cộng các biểu thức trên lại ta được:

$M = 6 + 3(x + y + z) + 3(xy + yz + zx) = 3\lbrack 2 + (x + y + z) + (xy + yz + zx)\rbrack$.

Lại có mẫu thức chung:

$\begin{array}{l} {D = (1 + x)(1 + y)(1 + z)} \\ {= 1 + (x + y + z) + (xy + yz + zx) + xyz} \\ {= 2 + (x + y + z) + (xy + yz + zx)} \end{array}$.

Thấy $M = 3D$, do đó: $P = \dfrac{3D}{D} = 3$.

Đáp án cần điền là: 3

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link