Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác
Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), tam giác \(SAB\) vuông cân tại \(S\), tam giác \(SCD\) có \(SC = SD = \dfrac{{\sqrt {13} }}{4}a\). Tính thể tích khối chóp đã cho.
Quảng cáo
- Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Gọi \(H\) là chân đường cao của \(\Delta SMN\). Chứng minh \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\)
- Tính SM, SN.
- Sử dụng định lí cosin trong tam giác SMN tính \(\cos \angle SMN\), từ đí tính \(\sin \angle SMN\).
- Tính \({S_{SMN}} = \dfrac{1}{2}SM.MN.\sin \angle SMN\).
- Tính \(SH = \dfrac{{2{S_{SMN}}}}{{MN}}\).
- Tính thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}}\).
Gọi \(M,\,\,N\) là trung điểm của \(AB,\,\,CD\).
Gọi \(H\) là chân đường cao của \(\Delta SMN\).
Vì \(\Delta SCD\) cân tại \(S\) nên \(SN \bot CD\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SN\\CD \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow CD \bot SH\)
Mà \(SH \bot MN \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
\(\Delta SAB\) vuông cân tại \(S\) nên \(SM = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
\(\Delta SNC\) vuông tại \(N:\,\,SN = \sqrt {S{C^2} - C{N^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{\sqrt {13} }}{4}a} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{3a}}{4}\)
Ta có: \(\cos \angle SMN = \dfrac{{S{M^2} + M{N^2} - S{N^2}}}{{2SM.MN}} = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2} - {{\left( {\dfrac{{3a}}{4}} \right)}^2}}}{{2.\dfrac{a}{2}.a}} = \dfrac{{11}}{{16}} \Rightarrow \sin \angle SMN = \dfrac{{3\sqrt {15} }}{{16}}\)
Lại có: \({S_{SMN}} = \dfrac{1}{2}SM.MN.\sin \angle SMN = \dfrac{1}{2}.\dfrac{a}{2}.a.\dfrac{{3\sqrt {15} }}{{16}} = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{64}}\)
Mà \({S_{SMN}} = \dfrac{1}{2}SH.MN \Rightarrow \dfrac{1}{2}SH.a = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{64}} \Rightarrow SH = \dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{32}}\).
Thể tích khối chóp đã cho là \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3{a^2}\sqrt {15} }}{{32}}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {15} }}{{32}}\).
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
