1) Bóng trên mặt đất của một cái cây dài 25m. Tính chiều cao của cái cây (làm tròn đến dm),

Câu hỏi số 984585:

Vận dụng

1) Bóng trên mặt đất của một cái cây dài 25m. Tính chiều cao của cái cây (làm tròn đến dm), biết rằng tia nắng mặt trời tạo với mặt đất góc $40^{\circ}$. (Các kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

2) Cho tam giác $ABC$ vuông tại A có $AB = 6cm$ ; $BC = 10 cm$

a) Hãy giải tam giác vuông $ABC$ . (Kết quả với góc làm tròn đến độ).

b) Kẻ đường cao AI ( $I \in BC$ ). Chứng minh: $AB^2 = BI . BC$ . Tính BI.

c) Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì , kẻ $AE \perp BM$ ( $E \in BM$ ). Chứng minh : $\dfrac{\sin \widehat{AMB}}{\cos \widehat{ABC}} = \dfrac{BC}{BM}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:984585

Phương pháp giải

1) Mô hình hóa bài toán thực tế: coi chiều cao của cây và chiều dài bóng của nó trên mặt đất là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Sử dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông để tính cạnh đối (chiều cao) khi biết cạnh kề (bóng) và góc nhọn, sau đó thực hiện đổi đơn vị và làm tròn số theo yêu cầu.

a) Sử dụng định lí Pythagore để tính cạnh $AC$. Sử dụng tỉ số lượng giác (sin, cos) để tính số đo các góc nhọn $B$ và $C$.

b) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông $ABC$ với đường cao $AI$.

c) Sử dụng định nghĩa tỉ số lượng giác (sin, cos) trong tam giác vuông để biểu diễn tỉ số cần chứng minh qua các cạnh. Áp dụng hệ thức tính diện tích (hoặc hệ thức lượng) trong tam giác vuông $ABM$ để rút gọn và suy ra điều phải chứng minh.

Giải chi tiết

1) Gọi chiều cao của cái cây là h (đơn vị mét).

Theo đề bài, bóng của cây trên mặt đất dài 25 m và tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc là $40^{\circ}$.

Chiều cao của cây và bóng của nó trên mặt đất tạo thành hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, trong đó góc đối diện với cạnh chiều cao là góc $40^{\circ}$.

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông, ta tính được chiều cao của cây là:

$h = 25 \cdot \tan 40^{\circ} \approx 20,977$ m.

Ta tiến hành đổi đơn vị từ mét sang đêximét: 20,977 m bằng 209,77 dm.

Theo yêu cầu của bài toán là làm tròn kết quả đến hàng phần mười, ta làm tròn số 209,77 dm thành 209,8 dm.

Vậy chiều cao của cái cây xấp xỉ bằng 209,8 dm.

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có:

$AB^2 + AC^2 = BC^2$

Suy ra $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$

Suy ra $AC = 8$ (cm).

Ta có $\sin \widehat{B} = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{10} = 0,8 \Rightarrow \widehat{B} \approx 53^\circ$.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ$ (hai góc phụ nhau).

Suy ra $\widehat{C} \approx 90^\circ - 53^\circ = 37^\circ$.

Vậy $AC = 8$ cm, $\widehat{B} \approx 53^\circ$, $\widehat{C} \approx 37^\circ$.

b) Xét tam giác ABC và tam giác ABI có

$\angle ABC$ chung

$\angle BAC = \angle BIA\left( {= 90{^\circ}} \right)$

Suy ra $\Delta ABC \sim \Delta IBA\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{AB}{IB} = \dfrac{BC}{BA}$ hay $AB^{2} = BI.BC$ (điều phải chứng minh).

Thay các giá trị đã biết vào hệ thức trên, ta được $6^2 = BI \cdot 10$

Suy ra $BI = \dfrac{36}{10} = 3,6$ (cm).

Vậy $BI = 3,6$ cm.

c) Xét tam giác AEM vuông tại E (do $AE \perp BM$), ta có:

$\sin \widehat{AMB} = \dfrac{AE}{AM}$

Xét tam giác $ABC$ vuông tại A, ta có:

$\cos \widehat{ABC} = \dfrac{AB}{BC}$

Từ đó suy ra tỉ số:

$\dfrac{\sin \widehat{AMB}}{\cos \widehat{ABC}} = \dfrac{\dfrac{AE}{AM}}{\dfrac{AB}{BC}} = \dfrac{AE \cdot BC}{AM \cdot AB}$ (1)

Xét tam giác ABM vuông tại A (do $\widehat{BAC} = 90^\circ$, $M \in AC$) có đường cao AE.

Diện tích tam giác ABM được tính bằng hai cách là $S = \dfrac{1}{2} AB \cdot AM$ và $S = \dfrac{1}{2} AE \cdot BM$.

Suy ra $AB \cdot AM = AE \cdot BM \Rightarrow \dfrac{AE}{AM \cdot AB} = \dfrac{1}{BM}$ (2)

Thay (2) vào (1) ta được:

$\dfrac{\sin \widehat{AMB}}{\cos \widehat{ABC}} = \dfrac{BC}{BM}$ (điều phải chứng minh).

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link