Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ MH vuông góc với AB
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của BC. Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H; kẻ MK vuông góc với AC tại K.
a) Chứng minh: Tứ giác AHMK là hình chữ nhật?
b) Chứng minh: MH = KC và tứ giác CMHK là hình bình hành
c) Trên tia đối của tia HM lấy điểm E sao cho H là trung điểm của ME. Gọi O là giao điểm của AM và HK . Chứng minh : 3 điểm E;O; C thẳng hàng
Quảng cáo
a) Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật: Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.
b) Vận dụng tính chất đường trung bình của tam giác để chứng minh K là trung điểm của AC. Sử dụng tính chất cạnh đối của hình chữ nhật để chứng minh $MH = AK$, từ đó suy ra $MH = KC$. Vận dụng dấu hiệu nhận biết hình bình hành: Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành.
c) Vận dụng tính chất đường trung bình để chứng minh H là trung điểm của AB. Chứng minh tứ giác AEBM là hình thoi suy ra $AE = BM$ và $AE \parallel BM$. Từ đó chứng minh tứ giác AECM là hình bình hành. Sử dụng tính chất hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm mỗi đường để chứng minh ba điểm E, O, C thẳng hàng.
a) Xét tam giác ABC vuông tại A có $\widehat{A} = 90^\circ$.
Vì $MH \perp AB$ tại H nên $\widehat{AHM} = 90^\circ$.
Vì $MK \perp AC$ tại K nên $\widehat{AKM} = 90^\circ$.
Xét tứ giác AHMK có $\widehat{A} = \widehat{AHM} = \widehat{AKM} = 90^\circ$ nên tứ giác AHMK là hình chữ nhật.
b) Vì tứ giác AHMK là hình chữ nhật nên $MH = AK$ và $MH \parallel AK$.
Suy ra $\angle BMH = \angle MCK$ (cặp góc đồng vị)
Tương tự $MK \parallel AB$ nên $\angle CMK = \angle MBH$ (cặp góc đồng vị)
Mà $MB = MC$ (do M là trung điểm của BC)
Suy ra $\Delta BHM = \Delta MKC$ (g.c.g) nên $HM = KC$ (cặp cạnh tương ứng)
Xét tứ giác CMHK có $MH = KC$ và $MH \parallel KC$ (do $MH \parallel AK$) nên tứ giác CMHK là hình bình hành.
c) Vì AHMK là hình chữ nhật và O là giao điểm của hai đường chéo AM và HK nên O là trung điểm của AM.
Do $\Delta BHM = \Delta MKC$ (cmt) nên $BH = MK$ (hai cạnh tương ứng)
Mà $MK = AH$ (do MHAK là hình chữ nhât) nên suy ra $BH = AH$ hay H là trung điểm của AB
Xét tứ giác AEBM có hai đường chéo AB và ME cắt nhau tại trung điểm H của mỗi đường và $AB \perp ME$ tại H.
Suy ra tứ giác AEBM là hình thoi, do đó $AE \parallel BM$ và $AE = BM$.
Vì M là trung điểm của BC nên $BM = MC$, suy ra $AE = MC$.
Xét tứ giác AECM có $AE \parallel MC$ (do $AE \parallel BM$) và $AE = MC$ nên tứ giác AECM là hình bình hành.
Vì tứ giác AECM là hình bình hành nên hai đường chéo AM và EC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà O là trung điểm của đường chéo AM nên O cũng là trung điểm của đường chéo EC.
Vậy 3 điểm E, O, C thẳng hàng.
Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
