Cho $A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dots + \dfrac{1}{3^{2022}} + \dfrac{1}{3^{2023}}$ . Chứng

Câu hỏi số 984717:

Vận dụng

Cho $A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dots + \dfrac{1}{3^{2022}} + \dfrac{1}{3^{2023}}$ . Chứng minh rằng $A < \dfrac{1}{2}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:984717

Phương pháp giải

Nhân cả hai vế của $A$ với $3$. Lấy biểu thức $3A$ trừ đi biểu thức $A$ để rút gọn vế phải, từ đó tính được $2A$. Biểu diễn $A$ dưới dạng hiệu của một số với một phân số dương để so sánh và chứng minh.

Giải chi tiết

Ta có: $A = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dots + \dfrac{1}{3^{2022}} + \dfrac{1}{3^{2023}}$

Nhân cả hai vế với $3$, ta được:

$3A = 3 \cdot \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dfrac{1}{3^3} + \dots + \dfrac{1}{3^{2022}} + \dfrac{1}{3^{2023}}\right)$

$3A = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dots + \dfrac{1}{3^{2021}} + \dfrac{1}{3^{2022}}$

Trừ vế theo vế $3A$ cho $A$, ta có:

$3A - A = \left(1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dots + \dfrac{1}{3^{2022}}\right) - \left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{3^2} + \dots + \dfrac{1}{3^{2023}}\right)$

$2A = 1 - \dfrac{1}{3^{2023}}$

$A = \dfrac{1 - \dfrac{1}{3^{2023}}}{2}$

$A = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2 \cdot 3^{2023}}$

Vì $\dfrac{1}{2 \cdot 3^{2023}} > 0$ nên $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2 \cdot 3^{2023}} < \dfrac{1}{2}$.

Vậy $A < \dfrac{1}{2}$ (điều phải chứng minh).

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link