Cho tứ diện ABCD có $A\ \left( {0;\ 1,\ 1} \right),\ B\left( {1;\ 1;\ 2} \right),\ C\ \left( {1;\ - 1;\ 0}

Câu hỏi số 985134:

Thông hiểu

Cho tứ diện ABCD có $A\ \left( {0;\ 1,\ 1} \right),\ B\left( {1;\ 1;\ 2} \right),\ C\ \left( {1;\ - 1;\ 0} \right),\ D\ \left( {0;\ 0;\ 1} \right).$ Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD có thể được viết dưới dạng $\sqrt{\dfrac{a}{b}}$ với a, b là các số nguyên dương và $\left( {a,\ b} \right) = 1.$ Giá trị của $a + b$ là

Đáp án:

Đáp án đúng là: 3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:985134

Phương pháp giải

Tính các vectơ $\overset{\rightarrow}{BC},\ \overset{\rightarrow}{BD}$ và tích có hướng của chúng. Viết phương trình mặt phẳng $\left( {BCD} \right).$

Độ dài đường cao AH chính là khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left( {BCD} \right).$

$AH = d\left( {A,\ \left( {BCD} \right)} \right) = \dfrac{\left| {ax_{A} + by_{A} + cz_{A} + d} \right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}.$

Giải chi tiết

$\overset{\rightarrow}{BC} = \left( {0;\ - 2;\ - 2} \right),\ \overset{\rightarrow}{BD} = \left( {- 1;\ - 1;\ - 1} \right).$

Tích có hướng: $\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{BC},\ \overset{\rightarrow}{BD}} \right\rbrack = \left( {\left| \begin{matrix} {- 2} & {- 2} \\ {- 1} & {- 1} \end{matrix} \right|;\ \left| \begin{matrix} {- 2} & 0 \\ {- 1} & {- 1} \end{matrix} \right|;\ \left| \begin{matrix} 0 & {- 2} \\ {- 1} & {- 1} \end{matrix} \right|} \right) = \left( {0;\ 2;\ - 2} \right).$

Phương trình mặt phẳng $\left( {BCD} \right):$ $2y - 2z + 2 = 0.$

Tính khoảng cách $\left. AH = \dfrac{\left| {2 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 2} \right|}{\sqrt{0^{2} + 2^{2} + \left( {- 2} \right)^{2}}} = \dfrac{2}{\sqrt{8}} = \sqrt{\dfrac{1}{2}}\Rightarrow a = 1,\ b = 2. \right.$

Vậy $a + b = 1 + 2 = 3.$

Đáp án cần điền là: 3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.