Cho tam giác ABC vuông tại A ($AB > AC$), đường trung tuyến AM. Từ M kẻ $ME \perp AB$, $MK \perp AC$

Câu hỏi số 987219:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A ($AB > AC$), đường trung tuyến AM. Từ M kẻ $ME \perp AB$, $MK \perp AC$ ($E \in AB$, $K \in AC$).

a) Chứng minh tứ giác AEMK là hình chữ nhật.

b) Tính độ dài đoạn thẳng AM biết $AB = 8\text{cm}$, $AC = 6\text{cm}$.

c) Kẻ $AH \perp BC$ ($H \in BC$). Chứng minh $EH \perp KH$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:987219

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

b) Áp dụng định lí Pythagore tính độ dài cạnh huyền BC, sau đó sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền: $AM = \dfrac{1}{2}BC$.

c) Chỉ ra E và K lần lượt là trung điểm của AB và AC. Sử dụng tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền trong các tam giác vuông AHB và AHC để chứng minh $HE = AE$ và $HK = AK$. Từ đó chứng minh hai tam giác $\triangle AEK$ và $\triangle HEK$ bằng nhau theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh để suy ra $\angle{EHK} = \angle{EAK} = 90^\circ$.

Giải chi tiết

a) Xét tứ giác AEMK, ta có:

$\angle{EAK} = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A)

$ME \perp AB \Rightarrow \angle{AEM} = 90^o$

$MK \perp AC \Rightarrow \angle{AKM} = 90^o$

Tứ giác AEMK có ba góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100$

$\Rightarrow BC = \sqrt{100} = 10\text{cm}$

Vì AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC của tam giác vuông ABC nên:

$AM = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} \cdot 10 = 5\text{cm}$

c) Ta có: $ME \perp AB$ và $AC \perp AB \Rightarrow ME \parallel AC$.

Xét tam giác ABC có M là trung điểm của BC và $ME \parallel AC$ nên E là trung điểm của AB.

Tương tự, $MK \perp AC$ và $AB \perp AC \Rightarrow MK \parallel AB$.

Tam giác ABC có M là trung điểm của BC và $MK \parallel AB$ nên K là trung điểm của AC.

Xét tam giác AHB vuông tại H ($AH \perp BC$), có HE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB $\Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}AB = AE$

Xét tam giác AHC vuông tại H ($AH \perp BC$), có HK là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC $\Rightarrow HK = \dfrac{1}{2}AC = AK$

Xét tam giác EHK và tam giác EAK, ta có:

$HE = AE$ (chứng minh trên)

$HK = AK$ (chứng minh trên)

EK là cạnh chung

Do đó $\triangle EHK = \triangle EAK$ (c - c - c)

$\Rightarrow \angle{EHK} = \angle EAK$ (hai góc tương ứng)

Mà tứ giác AEMK là hình chữ nhật nên $\angle{EAK} = 90^o$.

Suy ra $\angle EHK = 90^o$.

Vậy $EH \perp KH$.

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link