Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, BC. a) Giả

Câu hỏi số 987396:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi E, M lần lượt là trung điểm của AB, BC.

a) Giả sử $AC = 8\text{cm}$. Tính độ dài đoạn thẳng EM.

b) Gọi F là trung điểm của AC. Chứng minh AEMF là hình chữ nhật.

c) Gọi I là giao điểm của ME và BF; J là giao điểm của CE và BF. Tính tỉ số $\dfrac{BI}{BJ}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:987396

Phương pháp giải

a) Sử dụng định nghĩa và tính chất đường trung bình của tam giác: đường trung bình song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

b) Chứng minh tứ giác AEMF là hình bình hành (có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau), sau đó kết hợp với tam giác ABC vuông tại A ($\angle{BAC} = 90^\circ$) để suy ra hình chữ nhật.

c) Chứng minh tứ giác BEFM là hình bình hành, từ đó suy ra I là trung điểm của đường chéo BF. Nhận biết J là trọng tâm của tam giác ABC (giao điểm của hai đường trung tuyến BF và CE), từ đó tính độ dài BI và BJ theo BF rồi lập tỉ số $\dfrac{BI}{BJ}$.

Giải chi tiết

a) Xét tam giác ABC, ta có:

E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC (giả thiết)

Suy ra EM là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow EM = \dfrac{1}{2}AC$

Thay $AC = 8\text{cm}$, ta được:

$EM = \dfrac{1}{2} \cdot 8 = 4\text{ (cm)}$

b) Vì EM là đường trung bình của tam giác ABC nên:

$EM \parallel AC$ và $EM = \dfrac{1}{2}AC$ (1)

Mặt khác, F là trung điểm của AC nên:

$AF = \dfrac{1}{2}AC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $EM \parallel AF$ và $EM = AF$.

Xét tứ giác AEMF có $EM \parallel AF$ và $EM = AF$ nên AEMF là hình bình hành.

Lại có $\angle{BAC} = 90^\circ$ (do tam giác ABC vuông tại A) nên hình bình hành AEMF là hình chữ nhật.

c) Xét tam giác ABC, ta có:

M là trung điểm của BC, F là trung điểm của AC

Suy ra MF là đường trung bình của tam giác ABC.

$\Rightarrow MF \parallel AB$ và $MF = \dfrac{1}{2}AB$

Mà E là trung điểm của AB nên $BE = \dfrac{1}{2}AB$.

Do đó $MF \parallel BE$ (vì $E \in AB$) và $MF = BE$.

Xét tứ giác BEFM có $MF \parallel BE$ và $MF = BE$ nên BEFM là hình bình hành.

Do I là giao điểm của hai đường chéo ME và BF của hình bình hành BEFM nên I là trung điểm của BF $\Rightarrow BI = \dfrac{1}{2}BF$

Trong tam giác ABC, ta có:

BF là đường trung tuyến ứng với cạnh AC (do F là trung điểm của AC).

CE là đường trung tuyến ứng với cạnh AB (do E là trung điểm của AB).

Mà J là giao điểm của CE và BF, nên J là trọng tâm của tam giác ABC.

Theo tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, ta có: $BJ = \dfrac{2}{3}BF$

Xét tỉ số: $\dfrac{BI}{BJ} = \dfrac{\dfrac{1}{2}BF}{\dfrac{2}{3}BF} = \dfrac{1}{2} : \dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{4}$

Vậy $\dfrac{BI}{BJ} = \dfrac{3}{4}$.

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link