Một nhà máy sản xuất hai kiểu áo trắng và áo đen. Một chiếc áo trắng cần 1,5 giờ cắt áo

Câu hỏi số 987784:

Vận dụng

Một nhà máy sản xuất hai kiểu áo trắng và áo đen. Một chiếc áo trắng cần 1,5 giờ cắt áo và 1 giờ hoàn thiện áo. Một chiếc áo đen cần 1 giờ cắt áo và 2 giờ hoàn thiện áo. Tổ cắt áo có 3 công nhân và tổ hoàn thiện áo có 4 công nhân. Biết thị trường tiêu thụ hết sản phẩm của nhà máy và lượng tiêu thụ áo đen không vượt quá 3 lần áo trắng. Biết một công nhân làm việc không quá 8 tiếng một ngày và một áo trắng lãi 15000 đồng, một áo đen lãi 18000 đồng. Hỏi trong một ngày nhà máy cần sản xuất bao nhiêu áo trắng và bao nhiêu áo đen để tiền lãi thu được nhiều nhất?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:987784

Phương pháp giải

Gọi x, y lần lượt là số áo trắng và số áo đen nhà máy sản xuất trong một ngày ($x, y \in \mathbb{N}$).

Thiết lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn từ các điều kiện về thời gian cắt áo, thời gian hoàn thiện áo, tỉ lệ tiêu thụ và điều kiện không âm. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ (là một miền đa giác).

Lập hàm mục tiêu tiền lãi $F(x; y) = 15000x + 18000y$ và tìm giá trị lớn nhất của $F(x; y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm.

Giải chi tiết

Gọi x, y lần lượt là số chiếc áo trắng và áo đen nhà máy sản xuất trong một ngày ($x, y \in \mathbb{N}$).

Tổng số giờ làm việc tối đa trong một ngày của tổ cắt áo là $3 \cdot 8 = 24$ (giờ)

Tổng số giờ làm việc tối đa trong một ngày của tổ hoàn thiện áo là $4 \cdot 8 = 32$ (giờ)

Thời gian cắt x áo trắng và y áo đen trong một ngày là $1,5x + y$ (giờ)

Thời gian hoàn thiện x áo trắng và y áo đen trong một ngày là $x + 2y$ (giờ)

Vì lượng tiêu thụ áo đen không vượt quá 3 lần áo trắng nên: $y \le 3x \Leftrightarrow 3x - y \ge 0$

Ta có hệ bất phương trình: $\begin{cases} x \ge 0 \\ y \ge 0 \\ 1,5x + y \le 24 \\ x + 2y \le 32 \\ 3x - y \ge 0 \end{cases}$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác OABC kể cả biên, với tọa độ các đỉnh $O(0; 0),$ $A\left(\dfrac{32}{7}; \dfrac{96}{7}\right),$ $B(8; 12),$ $C(16; 0)$

Số tiền lãi thu được trong một ngày là $F(x; y) = 15000x + 18000y$ (đồng)

Tính giá trị của biểu thức $F(x; y)$ tại các đỉnh của miền nghiệm:

- Tại $O(0; 0)$: $F(0; 0) = 15000 \cdot 0 + 18000 \cdot 0 = 0$ (đồng)

- Tại $A\left(\dfrac{32}{7}; \dfrac{96}{7}\right)$: $F\left(\dfrac{32}{7}; \dfrac{96}{7}\right) \approx 315429$ (đồng)

- Tại $B(8; 12)$: $F(8; 12) = 15000 \cdot 8 + 18000 \cdot 12 = 336000$ (đồng)

- Tại $C(16; 0)$: $F(16; 0) = 15000 \cdot 16 + 18000 \cdot 0 = 240000$ (đồng)

So sánh các giá trị trên, ta thấy $F(x; y)$ đạt giá trị lớn nhất bằng 336000 đồng tại điểm $B(8; 12)$ (thỏa mãn $x, y \in \mathbb{N}$).

Vậy trong một ngày nhà máy cần sản xuất 8 chiếc áo trắng và 12 chiếc áo đen để tiền lãi thu được là nhiều nhất.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.