Một hòn đảo nhân tạo được thiết kế theo hình dạng bông tuyết Koch. Bắt đầu từ một tam

Câu hỏi số 988079:

Vận dụng

Một hòn đảo nhân tạo được thiết kế theo hình dạng bông tuyết Koch. Bắt đầu từ một tam giác đều cạnh $a = 100$ mét. Với quy luật: mỗi cạnh của bước trước được chia làm 3, bỏ đoạn giữa và thay bằng 2 đoạn bằng nó ghép thành một tam giác đều (hướng ra ngoài). Cho biết chi phí để lấp đất và trồng cỏ phủ kín hòn đảo có chi phí là 5 triệu đồng$/m^2$. Nếu quá trình xây dựng cứ tiếp diễn mãi mãi, hãy tính tổng chi phí lấp đất và trồng cỏ.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:988079

Phương pháp giải

Tính diện tích ban đầu của tam giác đều $S_0$.

Xác định diện tích tăng thêm ở mỗi bước thứ n, nhận biết tổng diện tích tăng thêm tạo thành một cấp số nhân lùi vô hạn.

Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \dfrac{u_1}{1 - q}$ để tính diện tích giới hạn của bông tuyết Koch.

Nhân diện tích thu được với đơn giá để tính tổng chi phí.

Giải chi tiết

Diện tích của tam giác đều ban đầu (bước 0) có cạnh $a = 100\text{ m}$ là:

$S_0 = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{100^2\sqrt{3}}{4} = 2500\sqrt{3}\text{ (m}^2\text{)}$

Bước 1: Mỗi cạnh trong số 3 cạnh của tam giác đều ban đầu được thêm vào một tam giác đều nhỏ có cạnh bằng $\dfrac{a}{3}$.

Số tam giác đều nhỏ thêm vào là 3 tam giác, diện tích mỗi tam giác nhỏ bằng $\dfrac{1}{9}S_0$.

Diện tích tăng thêm ở bước 1 là: $\Delta S_1 = 3 \cdot \dfrac{S_0}{9} = \dfrac{S_0}{3}$

Ở bước 2: Hình có được từ bước 1 có $3 \cdot 4 = 12$ cạnh.

Trên mỗi cạnh ta lại dựng một tam giác đều nhỏ có cạnh bằng $\dfrac{a}{3^2}$.

Diện tích của mỗi tam giác nhỏ mới này bằng $\dfrac{S_0}{9^2}$.

Diện tích tăng thêm ở bước 2 là: $\Delta S_2 = 12 \cdot \dfrac{S_0}{9^2} = 3 \cdot 4 \cdot \dfrac{S_0}{9^2} = \dfrac{S_0}{3} \cdot \dfrac{4}{9}$

Tổng quát, ở bước thứ n ($n \ge 1$), diện tích tăng thêm là: $\Delta S_n = \dfrac{S_0}{3} \cdot \left(\dfrac{4}{9}\right)^{n-1}$

Tổng diện tích S của hòn đảo là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1 = 1$ và công bội $q = \dfrac{4}{9}$:

Do đó diện tích toàn bộ hòn đảo là: $S = S_0 + \dfrac{S_0}{3} \cdot \dfrac{9}{5} = S_0 + \dfrac{3}{5}S_0 = \dfrac{8}{5}S_0$

Thay $S_0 = 2500\sqrt{3}\text{m}^2$ vào: $S = \dfrac{8}{5} \cdot 2500\sqrt{3} = 4000\sqrt{3}\text{(m}^2\text{)}$

Tổng chi phí để lấp đất và trồng cỏ phủ kín hòn đảo là:

$T = 5 \cdot S = 5 \cdot 4000\sqrt{3} = 20000\sqrt{3}$ (triệu đồng).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.