(1, 5 điểm) Cho $P = \dfrac{x + 7}{3\sqrt{x}}$ và $Q = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} +

Câu hỏi số 990445:

Vận dụng

(1, 5 điểm) Cho $P = \dfrac{x + 7}{3\sqrt{x}}$ và $Q = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{x - 9}$ với $x > 0; x \neq 9$

a) Tính giá trị biểu thức P khi $x = 4$

b) Chứng minh $Q = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$

c) Biết $A = P.Q$. Tìm các giá trị của x để $A \leq 2$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:990445

Phương pháp giải

a) Thay $x=4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức P và tính giá trị.

b) Quy đồng mẫu số, biến đổi rút gọn biểu thức Q.

c) Tính $A=P.Q$, giải bất phương trình $A \le 2$ để tìm $x$, đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

a) Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức P, ta có:

$P = \dfrac{4 + 7}{3\sqrt{4}} = \dfrac{11}{3.2} = \dfrac{11}{6}$

Vậy khi $x = 4$ thì $P = \dfrac{11}{6}$.

b) Với $x > 0; x \neq 9$, ta có:

$Q = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 3} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{x - 9}$

$Q = \dfrac{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} + \dfrac{2\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)} - \dfrac{7\sqrt{x} + 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$Q = \dfrac{x + 3\sqrt{x} + \sqrt{x} + 3 + 2x - 6\sqrt{x} - (7\sqrt{x} + 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$Q = \dfrac{3x - 2\sqrt{x} + 3 - 7\sqrt{x} - 3}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$Q = \dfrac{3x - 9\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$Q = \dfrac{3\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$Q = \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ (đpcm).

c) $A = P.Q = \dfrac{x + 7}{3\sqrt{x}} \cdot \dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{x + 7}{\sqrt{x} + 3}$

$A \leq 2 \Leftrightarrow \dfrac{x + 7}{\sqrt{x} + 3} \leq 2$

$\Leftrightarrow \dfrac{x + 7}{\sqrt{x} + 3} - 2 \leq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x + 7 - 2(\sqrt{x} + 3)}{\sqrt{x} + 3} \leq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} \leq 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(\sqrt{x} - 1)^2}{\sqrt{x} + 3} \leq 0$

Vì $\sqrt{x} \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} + 3 > 0$ với mọi $x$ thỏa mãn ĐKXĐ.

Nên $\dfrac{(\sqrt{x} - 1)^2}{\sqrt{x} + 3} \leq 0 \Leftrightarrow (\sqrt{x} - 1)^2 \le 0$

Mà $(\sqrt{x} - 1)^2 \ge 0 \Rightarrow (\sqrt{x} - 1)^2 = 0 \Leftrightarrow \sqrt{x} = 1 \Leftrightarrow x = 1$ (thỏa mãn ĐKXĐ)

Vậy $x = 1$ thì $A \leq 2$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link