Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có: (1) Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

Tích vô hướng của hai vec tơ và ứng dụng

Câu hỏi số 106326:

Vận dụng

Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có:

$underset{MA^{2}}{ ightarrow} + underset{MC^{2}}{ ightarrow} = underset{MB^{2}}{ ightarrow} + underset{MD^{2}}{ ightarrow}$ (1)

Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106326

Giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta được:

2 underset{MO}{
ightarrow} = underset{MA}{
ightarrow} + underset{MC}{
ightarrow} = underset{MB}{
ightarrow} + underset{MD}{
ightarrow} (2)

Bình phương 2 vế của (2) ta được:

$(underset{MA}{ ightarrow} + underset{MC}{ ightarrow})^{2} = (underset{MB}{ ightarrow} + underset{MD}{ ightarrow})^{2}$

$Leftrightarrow MA^{2} + MC^{2} + 2.underset{MA}{ ightarrow}.underset{MC}{ ightarrow}= MB^{2} + MD^{2} + 2.underset{MB}{ ightarrow}.underset{MD}{ ightarrow}$

Leftrightarrow underset{MA}{
ightarrow}.underset{MC}{
ightarrow} = underset{MB}{
ightarrow}.underset{MD}{
ightarrow}

Leftrightarrow (underset{MO}{
ightarrow}+underset{OA}{
ightarrow}).(underset{MO}{
ightarrow}+underset{OC}{
ightarrow}) = (underset{MO}{
ightarrow}+underset{OB}{
ightarrow}).(underset{MO}{
ightarrow}+underset{OD}{
ightarrow})

Leftrightarrow (underset{MO}{
ightarrow}+underset{OA}{
ightarrow}).(underset{MO}{
ightarrow}-underset{OA}{
ightarrow}) = Leftrightarrow (underset{MO}{
ightarrow}+underset{OB}{
ightarrow}).(underset{MO}{
ightarrow}-underset{OB}{
ightarrow})

$Leftrightarrow OA^{2} = OB^{2} Leftrightarrow OA = OB Leftrightarrow AC = BD$

Leftrightarrow ABCD là hình chữ nhật.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.