Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có: (1) Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

Tích vô hướng của hai vec tơ và ứng dụng

Câu hỏi số 106326:

Vận dụng

Cho hình bình hành ABCD, biết rằng với mọi điểm M luôn có:

$underset{MA^{2}}{ ightarrow} + underset{MC^{2}}{ ightarrow} = underset{MB^{2}}{ ightarrow} + underset{MD^{2}}{ ightarrow}$ (1)

Chứng minh rằng ABCD là hình chữ nhật.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106326

Giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, ta được:

2 underset{MO}{
ightarrow} = underset{MA}{
ightarrow} + underset{MC}{
ightarrow} = underset{MB}{
ightarrow} + underset{MD}{
ightarrow} (2)

Bình phương 2 vế của (2) ta được:

$(underset{MA}{ ightarrow} + underset{MC}{ ightarrow})^{2} = (underset{MB}{ ightarrow} + underset{MD}{ ightarrow})^{2}$

$Leftrightarrow MA^{2} + MC^{2} + 2.underset{MA}{ ightarrow}.underset{MC}{ ightarrow}= MB^{2} + MD^{2} + 2.underset{MB}{ ightarrow}.underset{MD}{ ightarrow}$

Leftrightarrow underset{MA}{
ightarrow}.underset{MC}{
ightarrow} = underset{MB}{
ightarrow}.underset{MD}{
ightarrow}

Leftrightarrow (underset{MO}{
ightarrow}+underset{OA}{
ightarrow}).(underset{MO}{
ightarrow}+underset{OC}{
ightarrow}) = (underset{MO}{
ightarrow}+underset{OB}{
ightarrow}).(underset{MO}{
ightarrow}+underset{OD}{
ightarrow})

Leftrightarrow (underset{MO}{
ightarrow}+underset{OA}{
ightarrow}).(underset{MO}{
ightarrow}-underset{OA}{
ightarrow}) = Leftrightarrow (underset{MO}{
ightarrow}+underset{OB}{
ightarrow}).(underset{MO}{
ightarrow}-underset{OB}{
ightarrow})

$Leftrightarrow OA^{2} = OB^{2} Leftrightarrow OA = OB Leftrightarrow AC = BD$

Leftrightarrow ABCD là hình chữ nhật.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.