Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ý. a. Chứng minh rằng: b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để: đạt giá trị nhỏ nhất.

Trang chủ

Toán 10

Tích vô hướng của hai vec tơ và ứng dụng

Câu hỏi số 106327:

Vận dụng

Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ý.

a. Chứng minh rằng: $MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}= MD^{2} - 2(OB^{2} - OA^{2}).$

b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để:

$MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106327

Giải chi tiết

a. Ta có: $left{egin{matrix} underset{MA}{ ightarrow} + underset{MC}{ ightarrow} = 2underset{MO}{ ightarrow} & underset{MB}{ ightarrow} + underset{MD}{ ightarrow} = 2underset{MO}{ ightarrow}& end{matrix} ight.Rightarrow (underset{MA}{ ightarrow}+underset{MC}{ ightarrow})^{2}=(underset{MB}{ ightarrow}+underset{MD}{ ightarrow})^{2}$

$Leftrightarrow 0=MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}-MD^{2}+2(underset{MA}{ ightarrow}.underset{MC}{ ightarrow} - underset{MB}{ ightarrow}.underset{MD}{ ightarrow})$ (1)

Ta xét: underset{MA}{
ightarrow}.underset{MC}{
ightarrow} - underset{MB}{
ightarrow}.underset{MD}{
ightarrow}

= (underset{OA}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow})(underset{OC}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow}) - (underset{OB}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow}).(underset{OD}{
ightarrow} + underset{OM}{
ightarrow})

= -(underset{OA}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow})(underset{OA}{
ightarrow}+underset{OM}{
ightarrow}) + (underset{OB}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow}).(underset{OB}{
ightarrow} + underset{OM}{
ightarrow})

$=-OA^{2} + OM^{2} + OB^{2} - OM^{2} = OB^{2} - OA^{2}$ (2)

Thay (2) vào (1), ta được:

$0=MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}-MD^{2}+2(OB^{2}-OA^{2})$

$Leftrightarrow MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2} = MD^{2} - 2(OB^{2} - OA^{2})$ , đpcm.

b. Từ kết quả câu a suy ra $MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MD^{2}$ nhỏ nhất.

Leftrightarrow M là hình chiếu vuông góc của D lên (d)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10