Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ý. a. Chứng minh rằng: b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để: đạt giá trị nhỏ nhất.

Trang chủ

Toán 10

Tích vô hướng của hai vec tơ và ứng dụng

Câu hỏi số 106327:

Vận dụng

Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ý.

a. Chứng minh rằng: $MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}= MD^{2} - 2(OB^{2} - OA^{2}).$

b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để:

$MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:106327

Giải chi tiết

a. Ta có: $left{egin{matrix} underset{MA}{ ightarrow} + underset{MC}{ ightarrow} = 2underset{MO}{ ightarrow} & underset{MB}{ ightarrow} + underset{MD}{ ightarrow} = 2underset{MO}{ ightarrow}& end{matrix} ight.Rightarrow (underset{MA}{ ightarrow}+underset{MC}{ ightarrow})^{2}=(underset{MB}{ ightarrow}+underset{MD}{ ightarrow})^{2}$

$Leftrightarrow 0=MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}-MD^{2}+2(underset{MA}{ ightarrow}.underset{MC}{ ightarrow} - underset{MB}{ ightarrow}.underset{MD}{ ightarrow})$ (1)

Ta xét: underset{MA}{
ightarrow}.underset{MC}{
ightarrow} - underset{MB}{
ightarrow}.underset{MD}{
ightarrow}

= (underset{OA}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow})(underset{OC}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow}) - (underset{OB}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow}).(underset{OD}{
ightarrow} + underset{OM}{
ightarrow})

= -(underset{OA}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow})(underset{OA}{
ightarrow}+underset{OM}{
ightarrow}) + (underset{OB}{
ightarrow}-underset{OM}{
ightarrow}).(underset{OB}{
ightarrow} + underset{OM}{
ightarrow})

$=-OA^{2} + OM^{2} + OB^{2} - OM^{2} = OB^{2} - OA^{2}$ (2)

Thay (2) vào (1), ta được:

$0=MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}-MD^{2}+2(OB^{2}-OA^{2})$

$Leftrightarrow MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2} = MD^{2} - 2(OB^{2} - OA^{2})$ , đpcm.

b. Từ kết quả câu a suy ra $MA^{2} - MB^{2}+ MC^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi $MD^{2}$ nhỏ nhất.

Leftrightarrow M là hình chiếu vuông góc của D lên (d)

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.