Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 3(a2b2 + b2c2 + c2a2) + 3(ab + bc + ca) + 2

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 10683:

Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 3(a²b² + b²c² + c²a²) + 3(ab + bc + ca) + 2 $\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}$

A. minM = 2

B. minM = -2

C. minM = 0

D. minM = $\frac{1}{3}$

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:10683

Giải chi tiết

Đặt t = ab + bc + ca, ta có: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca

⇒ 1 = (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)

⇒ a² + b² + c² = 1 – 2t và 0 ≤ t ≤ $\frac{1}{3}$

Theo B.C.S ta có: t² = (ab + bc + ca)² ≤ 3(a²b² + b²c² + c²a²)

⇒ M ≥ t² + 3t + 2 $\sqrt{1-2t}$ = f(t)

f'(t) = 2t + 3 $\frac{2}{\sqrt{1-2t}}$

f"(t) = 2 - $\frac{2}{\sqrt{(1-2t)^{3}}}$ < 0, ∀t ∈ [0 ; $\frac{1}{3}$ ] ⇒ f'(t) là hàm giảm

f'(t) ≥ f'( $\frac{1}{3}$ ) = $\frac{11}{3}$ - 2√3 > 0 ⇒ f tăng

⇒ f(t) ≥ f(0) = 2. ∀t ∈ [0 ; $\frac{1}{3}$ ]

⇒ M > 2. ∀ a, b, c không âm thỏa mãn a + b + c = 1

Khi (a ; b ; c) là một trong các bộ số (1 ; 0 ; 0), (0 ; 1 ; 0), (0 ; 0 ; 1) thì minM = 2

Đáp án cần chọn là:

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.