Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại S, góc = 30o , hình chiếu của S xuống (ABCD) nằm trên cạnh CD. Gọi M là trung điểm của SA. Tính thể tích khối chóp MABD và góc giữa hai đường thẳng AC và DM.

Câu hỏi số 1082:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SCD vuông tại S, góc $\widehat{SDC}$ = 30^o , hình chiếu của S xuống (ABCD) nằm trên cạnh CD. Gọi M là trung điểm của SA. Tính thể tích khối chóp MABD và góc giữa hai đường thẳng AC và DM.

A. V_MADB= $\frac{2a^{3}}{9}$ (đvtt) cos( $\widehat{DM,AC}$ )= $\frac{\sqrt{13}}{22}$

B. V_MADB= $\frac{12a^{3}}{\sqrt{7}}$ (đvtt) cos( $\widehat{DM,AC}$ )= $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. V_MADB= $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}$ (đvtt) cos( $\widehat{DM,AC}$ )= $\frac{\sqrt{14}}{28}$

D. V_MADB= $\frac{3a^{3}}{16}$ (đvtt) cos( $\widehat{DM,AC}$ )= $\frac{3\sqrt{3}}{28}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1082

Giải chi tiết

Gọi H là hình chiếu của S lên CD. Khi đó SH⊥ (ABCD).

Trong tam giác giác vuông SCD ta có

SC=CD.sin30^o= $\frac{a}{2}$ , SD=CD.cos30^o= $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông SCD ta có

SH= $\frac{SC.SD}{CD}$ = $\frac{\frac{a}{2}.\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}$ = $\frac{a\sqrt{3}}{4}$ .

Từ đó suy ra

V_MABD= $\frac{1}{3}$ d(M,(ABCD)).S_ABD= $\frac{1}{3}$ . $\frac{1}{2}$ SH. $\frac{1}{2}$ S_ABCD= $\frac{1}{12}.\frac{a\sqrt{3}}{4}$ . $a^{2}$ = $\frac{a^{3}\sqrt{3}}{48}$ (đvtt)

Gọi I là trung điểm của SC. Khi đó MI//AC.

Suy ra ( $\widehat{DM,AC}$ )=( $\widehat{DM,MI}$ )

Trong tam giác vuông SDH ta có DH=DS.cos30^o= $\frac{3a}{4}$ .

Trong tam giác vuông ADH ta có:

AH= $\sqrt{AD^{2}+DH^{2}}$ = $\sqrt{a^{2}+\frac{9a^{2}}{16}}$ = $\frac{5a}{4}$ .

Trong tam giác vuông AHS ta có:

SA= $\sqrt{SH^{2}+AH^{2}}$ = $\sqrt{\frac{3a^{2}}{16}+\frac{25a^{2}}{16}}$ = $\frac{a\sqrt{7}}{2}$ .

Trong tam giác SCD ta có

DI= $\sqrt{SD^{2}+SI^{2}}$ = $\sqrt{\frac{3a^{2}}{4}+\frac{a^{2}}{16}}$ = $\frac{a\sqrt{13}}{4}$

Trong tam giác SAD ta có

DM²= $\frac{2DS^{2}+2DA^{2}-SA^{2}}{4}$ = $\frac{2.\frac{3a^{2}}{4}+2a^{2}-\frac{7a^{2}}{4}}{4}$ = $\frac{7a^{2}}{16}$

Áp dụng định lý cosin trong tam DMI ta có:

cos $\widehat{DMI}$ = $\frac{\frac{7a^{2}}{16}+\frac{a^{2}}{2}-\frac{13a^{2}}{16}}{2.\frac{a\sqrt{7}}{4}.\frac{a}{\sqrt{2}}}$ = $\frac{\sqrt{14}}{28}$

Từ đó suy ra cos( $\widehat{DM,AC}$ ) = cos( $\widehat{DM,MI}$ )=|cos $\widehat{DMI}$ | = $\frac{\sqrt{14}}{28}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.