Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh bằng a√3, đường chéo AC=2a. Biết rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy và SC=a√3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.

A. V_SABC = $\frac{a^{3}}{3}$ (đvtt)

B. V_SABC = $\frac{5a^{3}}{3}$ (đvtt)

C. V_SABC= $\frac{7a^{3}}{3}$ (đvtt)

D. V_SABC= $\frac{4a^{3}}{3}$ (đvtt)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:1098

Giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Từ giả thiết ta có SO⊥(ABCD).Trong tam giác SOC vuông tại O ta có SO= $\sqrt{SC^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{3a^{2}-a^{2}}$ = a√2.

Trong tam giác AOB vuông tại O ta có

OB= $\sqrt{AB^{2}-OA^{2}}$ = $\sqrt{3a^{2}-a^{2}}$ = a√2.

Ta có V_SABC= $\frac{1}{3}$ .SO.(OB.AC) = $\frac{1}{3}$ .a√2.a√2.2a = $\frac{4a^{3}}{3}$ (đvtt)

Gọi H là trung điểm của SB. Ta có tam giác SBC cân tại C vì CS=CB=a√3 nên CH⊥SB. Tương tự ta cũng có AH⊥SB. Từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là góc giữa hai đường thẳng HA và HC. Từ SB⊥(AHC) =>OH⊥SB

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác SOB vuông tại O ta có

$\frac{1}{OH^{2}}$ = $\frac{1}{OS^{2}}$ + $\frac{1}{OB^{2}}$ = $\frac{1}{2a^{2}}$ + $\frac{1}{2a^{2}}$ =>OH=a

Do đó OH= $\frac{1}{2}$ AC. Trong tam giác AHC có đường trung tuyến kẻ từ H bằng một nửa cạnh đối diện nên tam giác AHC vuông tại H.

Do đó hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) vuông góc với nhau.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.